MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brtrclfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem brtrclfv 13940
Description: Two ways of expressing the transitive closure of a binary relation. (Contributed by RP, 9-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
brtrclfv (𝑅𝑉 → (𝐴(t+‘𝑅)𝐵 ↔ ∀𝑟((𝑅𝑟 ∧ (𝑟𝑟) ⊆ 𝑟) → 𝐴𝑟𝐵)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐵,𝑟   𝑅,𝑟
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑟)

Proof of Theorem brtrclfv
StepHypRef Expression
1 trclfv 13938 . . 3 (𝑅𝑉 → (t+‘𝑅) = {𝑟 ∣ (𝑅𝑟 ∧ (𝑟𝑟) ⊆ 𝑟)})
21breqd 4813 . 2 (𝑅𝑉 → (𝐴(t+‘𝑅)𝐵𝐴 {𝑟 ∣ (𝑅𝑟 ∧ (𝑟𝑟) ⊆ 𝑟)}𝐵))
3 brintclab 13939 . . 3 (𝐴 {𝑟 ∣ (𝑅𝑟 ∧ (𝑟𝑟) ⊆ 𝑟)}𝐵 ↔ ∀𝑟((𝑅𝑟 ∧ (𝑟𝑟) ⊆ 𝑟) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑟))
4 df-br 4803 . . . . 5 (𝐴𝑟𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑟)
54imbi2i 325 . . . 4 (((𝑅𝑟 ∧ (𝑟𝑟) ⊆ 𝑟) → 𝐴𝑟𝐵) ↔ ((𝑅𝑟 ∧ (𝑟𝑟) ⊆ 𝑟) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑟))
65albii 1894 . . 3 (∀𝑟((𝑅𝑟 ∧ (𝑟𝑟) ⊆ 𝑟) → 𝐴𝑟𝐵) ↔ ∀𝑟((𝑅𝑟 ∧ (𝑟𝑟) ⊆ 𝑟) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑟))
73, 6bitr4i 267 . 2 (𝐴 {𝑟 ∣ (𝑅𝑟 ∧ (𝑟𝑟) ⊆ 𝑟)}𝐵 ↔ ∀𝑟((𝑅𝑟 ∧ (𝑟𝑟) ⊆ 𝑟) → 𝐴𝑟𝐵))
82, 7syl6bb 276 1 (𝑅𝑉 → (𝐴(t+‘𝑅)𝐵 ↔ ∀𝑟((𝑅𝑟 ∧ (𝑟𝑟) ⊆ 𝑟) → 𝐴𝑟𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  wal 1628  wcel 2137  {cab 2744  wss 3713  cop 4325   cint 4625   class class class wbr 4802  ccom 5268  cfv 6047  t+ctcl 13923
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-ral 3053  df-rex 3054  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-op 4326  df-uni 4587  df-int 4626  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-id 5172  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fv 6055  df-trcl 13925
This theorem is referenced by:  brcnvtrclfv  13941  brtrclfvcnv  13942  trclfvcotr  13947
  Copyright terms: Public domain W3C validator