Theorem brtxpsd 33350

Description: Expansion of a common form used in quantifier-free definitions. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
brtxpsd.1	⊢ 𝐴 ∈ V
brtxpsd.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
brtxpsd	⊢ (¬ 𝐴ran ((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V))𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥𝑅𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅

Proof of Theorem brtxpsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 5059	. . 3 ⊢ (𝐴ran ((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V))𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ran ((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V)))
2		opex 5348	. . . . 5 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V
3	2	elrn 5816	. . . 4 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ran ((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V)) ↔ ∃𝑥 𝑥((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V))⟨𝐴, 𝐵⟩)
4		brsymdif 5117	. . . . . 6 ⊢ (𝑥((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V))⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ ¬ (𝑥(V ⊗ E )⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ 𝑥(𝑅 ⊗ V)⟨𝐴, 𝐵⟩))
5		brv 5356	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥V𝐴
6		vex 3497	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ V
7		brtxpsd.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 ∈ V
8		brtxpsd.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ∈ V
9	6, 7, 8	brtxp 33336	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥(V ⊗ E )⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (𝑥V𝐴 ∧ 𝑥 E 𝐵))
10	5, 9	mpbiran 707	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥(V ⊗ E )⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ 𝑥 E 𝐵)
11	8	epeli 5462	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 E 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵)
12	10, 11	bitri 277	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥(V ⊗ E )⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ 𝑥 ∈ 𝐵)
13		brv 5356	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥V𝐵
14	6, 7, 8	brtxp 33336	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥(𝑅 ⊗ V)⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (𝑥𝑅𝐴 ∧ 𝑥V𝐵))
15	13, 14	mpbiran2 708	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥(𝑅 ⊗ V)⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ 𝑥𝑅𝐴)
16	12, 15	bibi12i 342	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥(V ⊗ E )⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ 𝑥(𝑅 ⊗ V)⟨𝐴, 𝐵⟩) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥𝑅𝐴))
17	4, 16	xchbinx 336	. . . . 5 ⊢ (𝑥((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V))⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ ¬ (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥𝑅𝐴))
18	17	exbii 1844	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 𝑥((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V))⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ ∃𝑥 ¬ (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥𝑅𝐴))
19	3, 18	bitri 277	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ran ((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V)) ↔ ∃𝑥 ¬ (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥𝑅𝐴))
20		exnal 1823	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ¬ (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥𝑅𝐴) ↔ ¬ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥𝑅𝐴))
21	1, 19, 20	3bitrri 300	. 2 ⊢ (¬ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥𝑅𝐴) ↔ 𝐴ran ((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V))𝐵)
22	21	con1bii 359	1 ⊢ (¬ 𝐴ran ((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V))𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥𝑅𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 208  ∀wal 1531  ∃wex 1776   ∈ wcel 2110  Vcvv 3494   △ csymdif 4217  ⟨cop 4566   class class class wbr 5058   E cep 5458  ran crn 5550   ⊗ ctxp 33286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-symdif 4218  df-nul 4291  df-if 4467  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-eprel 5459  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-fo 6355  df-fv 6357  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-txp 33310

This theorem is referenced by:  brtxpsd2  33351