Theorem brxp 5107

Description: Binary relation on a Cartesian product. (Contributed by NM, 22-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
brxp	⊢ (𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))

Proof of Theorem brxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 4614	. 2 ⊢ (𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷))
2		opelxp 5106	. 2 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷) ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))
3	1, 2	bitri 264	1 ⊢ (𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))

Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∈ wcel 1987  ⟨cop 4154   class class class wbr 4613   × cxp 5072

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pr 4867

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-br 4614  df-opab 4674  df-xp 5080

This theorem is referenced by:  brrelex12  5115  brel  5128  brinxp2  5141  eqbrrdva  5251  ssrelrn  5275  xpidtr  5477  xpco  5634  isocnv3  6536  tpostpos  7317  swoer  7717  erinxp  7766  ecopover  7796  ecopoverOLD  7797  infxpenlem  8780  fpwwe2lem6  9401  fpwwe2lem7  9402  fpwwe2lem9  9404  fpwwe2lem12  9407  fpwwe2lem13  9408  fpwwe2  9409  ltxrlt  10052  ltxr  11893  xpcogend  13647  xpsfrnel2  16146  invfuc  16555  elhoma  16603  efglem  18050  gsumdixp  18530  gsumbagdiag  19295  psrass1lem  19296  opsrtoslem2  19404  znleval  19822  gsumcom3fi  20125  brelg  29264  posrasymb  29442  trleile  29451  metider  29719  mclsppslem  31188  dfpo2  31353  dfon3  31641  brbigcup  31647  brsingle  31666  brimage  31675  brcart  31681  brapply  31687  brcup  31688  brcap  31689  funpartlem  31691  dfrdg4  31700  brub  31703  itg2gt0cn  33097