Theorem brxp 5603

Description: Binary relation on a Cartesian product. (Contributed by NM, 22-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
brxp	⊢ (𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))

Proof of Theorem brxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 5069	. 2 ⊢ (𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷))
2		opelxp 5593	. 2 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷) ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))
3	1, 2	bitri 277	1 ⊢ (𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114  ⟨cop 4575   class class class wbr 5068   × cxp 5555

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pr 5332

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-br 5069  df-opab 5131  df-xp 5563

This theorem is referenced by:  brrelex12  5606  brel  5619  brinxp2  5631  eqbrrdva  5742  ssrelrn  5765  xpidtr  5984  xpco  6142  isocnv3  7087  tpostpos  7914  swoer  8321  erinxp  8373  ecopover  8403  infxpenlem  9441  fpwwe2lem6  10059  fpwwe2lem7  10060  fpwwe2lem9  10062  fpwwe2lem12  10065  fpwwe2lem13  10066  fpwwe2  10067  ltxrlt  10713  ltxr  12513  xpcogend  14336  invfuc  17246  elhoma  17294  efglem  18844  gsumcom3fi  19101  gsumdixp  19361  gsumbagdiag  20158  psrass1lem  20159  opsrtoslem2  20267  znleval  20703  brelg  30362  posrasymb  30646  trleile  30655  ecxpid  30927  qusxpid  30930  metider  31136  satefvfmla1  32674  mclsppslem  32832  dfpo2  32993  slenlt  33233  dfon3  33355  brbigcup  33361  brsingle  33380  brimage  33389  brcart  33395  brapply  33401  brcup  33402  brcap  33403  funpartlem  33405  dfrdg4  33414  brub  33417  itg2gt0cn  34949  grucollcld  40603  grumnud  40629