MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  btwnhl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem btwnhl 25409
Description: Swap betweenness for a half-line. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ishlg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a (𝜑𝐴𝑃)
ishlg.b (𝜑𝐵𝑃)
ishlg.c (𝜑𝐶𝑃)
hlln.1 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
hltr.d (𝜑𝐷𝑃)
btwnhl.1 (𝜑𝐴(𝐾𝐷)𝐵)
btwnhl.3 (𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
Assertion
Ref Expression
btwnhl (𝜑𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶))

Proof of Theorem btwnhl
StepHypRef Expression
1 ishlg.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2621 . . 3 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
3 ishlg.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 hlln.1 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 ishlg.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑃)
76adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐶𝑃)
8 hltr.d . . . 4 (𝜑𝐷𝑃)
98adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐷𝑃)
10 ishlg.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑃)
1110adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐵𝑃)
12 ishlg.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
1312adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐴𝑃)
14 btwnhl.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴(𝐾𝐷)𝐵)
15 ishlg.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (hlG‘𝐺)
161, 3, 15, 12, 10, 8, 4ishlg 25397 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴(𝐾𝐷)𝐵 ↔ (𝐴𝐷𝐵𝐷 ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))))
1714, 16mpbid 222 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝐷𝐵𝐷 ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴))))
1817simp1d 1071 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐷)
1918necomd 2845 . . . . 5 (𝜑𝐷𝐴)
2019adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐷𝐴)
21 btwnhl.3 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
2221adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
231, 2, 3, 5, 13, 9, 7, 22tgbtwncom 25283 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
24 simpr 477 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵))
251, 2, 3, 5, 7, 9, 13, 11, 20, 23, 24tgbtwnouttr 25292 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
261, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 25tgbtwncom 25283 . 2 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
274adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
2812adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐴𝑃)
2910adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐵𝑃)
308adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐷𝑃)
316adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐶𝑃)
32 simpr 477 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴))
331, 2, 3, 27, 30, 29, 28, 32tgbtwncom 25283 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
3421adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
351, 2, 3, 27, 28, 29, 30, 31, 33, 34tgbtwnexch3 25289 . 2 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
3617simp3d 1073 . 2 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
3726, 35, 36mpjaodan 826 1 (𝜑𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  distcds 15871  TarskiGcstrkg 25229  Itvcitv 25235  hlGchlg 25395
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-trkgc 25247  df-trkgb 25248  df-trkgcb 25249  df-trkg 25252  df-hlg 25396
This theorem is referenced by:  hlcgreulem  25412  opphllem5  25543  colhp  25562  cgrabtwn  25617  sacgr  25622  inaghl  25631
  Copyright terms: Public domain W3C validator