Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  btwntriv2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem btwntriv2 31124
Description: Betweenness always holds for the second endpoint. Theorem 3.1 of [Schwabhauser] p. 30. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
btwntriv2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)

Proof of Theorem btwntriv2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1053 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
2 simp2 1054 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
3 simp3 1055 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
4 axsegcon 25497 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐵⟩))
51, 2, 3, 3, 3, 4syl122anc 1326 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐵⟩))
6 simpl1 1056 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
7 simpl3 1058 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
8 simpr 475 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))
9 axcgrid 25486 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐵, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐵⟩ → 𝐵 = 𝑥))
106, 7, 8, 7, 9syl13anc 1319 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (⟨𝐵, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐵⟩ → 𝐵 = 𝑥))
11 opeq2 4239 . . . . . . . 8 (𝐵 = 𝑥 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ = ⟨𝐴, 𝑥⟩)
1211breq2d 4493 . . . . . . 7 (𝐵 = 𝑥 → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩))
1312biimprd 236 . . . . . 6 (𝐵 = 𝑥 → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩))
1410, 13syl6 34 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (⟨𝐵, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐵⟩ → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)))
1514impd 445 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((⟨𝐵, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐵⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩))
1615ancomsd 468 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐵⟩) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩))
1716rexlimdva 2917 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐵⟩) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩))
185, 17mpd 15 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1938  wrex 2801  cop 4034   class class class wbr 4481  cfv 5689  cn 10775  𝔼cee 25458   Btwn cbtwn 25459  Cgrccgr 25460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6723  ax-inf2 8297  ax-cnex 9747  ax-resscn 9748  ax-1cn 9749  ax-icn 9750  ax-addcl 9751  ax-addrcl 9752  ax-mulcl 9753  ax-mulrcl 9754  ax-mulcom 9755  ax-addass 9756  ax-mulass 9757  ax-distr 9758  ax-i2m1 9759  ax-1ne0 9760  ax-1rid 9761  ax-rnegex 9762  ax-rrecex 9763  ax-cnre 9764  ax-pre-lttri 9765  ax-pre-lttrn 9766  ax-pre-ltadd 9767  ax-pre-mulgt0 9768  ax-pre-sup 9769
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-int 4309  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-se 4892  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-isom 5698  df-riota 6388  df-ov 6429  df-oprab 6430  df-mpt2 6431  df-om 6834  df-1st 6934  df-2nd 6935  df-wrecs 7169  df-recs 7231  df-rdg 7269  df-1o 7323  df-oadd 7327  df-er 7505  df-map 7622  df-en 7718  df-dom 7719  df-sdom 7720  df-fin 7721  df-sup 8107  df-oi 8174  df-card 8524  df-pnf 9831  df-mnf 9832  df-xr 9833  df-ltxr 9834  df-le 9835  df-sub 10019  df-neg 10020  df-div 10434  df-nn 10776  df-2 10834  df-3 10835  df-n0 11048  df-z 11119  df-uz 11428  df-rp 11575  df-ico 11921  df-icc 11922  df-fz 12066  df-fzo 12203  df-seq 12532  df-exp 12591  df-hash 12848  df-cj 13546  df-re 13547  df-im 13548  df-sqrt 13682  df-abs 13683  df-clim 13933  df-sum 14134  df-ee 25461  df-btwn 25462  df-cgr 25463
This theorem is referenced by:  btwncomim  31125  btwntriv1  31128  seglerflx  31224  colinbtwnle  31230  broutsideof2  31234
  Copyright terms: Public domain W3C validator