Theorem canth3 9239

Description: Cantor's theorem in terms of cardinals. This theorem tells us that no matter how large a cardinal number is, there is a still larger cardinal number. Theorem 18.12 of [Monk1] p. 133. (Contributed by NM, 5-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
canth3	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (card‘𝐴) ∈ (card‘𝒫 𝐴))

Proof of Theorem canth3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		canth2g 7976	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
2		pwexg 4771	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
3		cardsdom 9233	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝒫 𝐴 ∈ V) → ((card‘𝐴) ∈ (card‘𝒫 𝐴) ↔ 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴))
4	2, 3	mpdan 698	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((card‘𝐴) ∈ (card‘𝒫 𝐴) ↔ 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴))
5	1, 4	mpbird 245	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (card‘𝐴) ∈ (card‘𝒫 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 194   ∈ wcel 1976  Vcvv 3172  𝒫 cpw 4107   class class class wbr 4577  ‘cfv 5790   ≺ csdm 7817  cardccrd 8621

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-ac2 9145

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-card 8625  df-ac 8799

This theorem is referenced by: (None)