MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  canthp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem canthp1 9589
Description: A slightly stronger form of Cantor's theorem: For 1 < 𝑛, 𝑛 + 1 < 2↑𝑛. Corollary 1.6 of [KanamoriPincus] p. 417. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
canthp1 (1𝑜𝐴 → (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≺ 𝒫 𝐴)

Proof of Theorem canthp1
Dummy variables 𝑓 𝑎 𝑔 𝑟 𝑠 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1sdom2 8275 . . . 4 1𝑜 ≺ 2𝑜
2 sdomdom 8100 . . . 4 (1𝑜 ≺ 2𝑜 → 1𝑜 ≼ 2𝑜)
3 cdadom2 9122 . . . 4 (1𝑜 ≼ 2𝑜 → (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ (𝐴 +𝑐 2𝑜))
41, 2, 3mp2b 10 . . 3 (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ (𝐴 +𝑐 2𝑜)
5 canthp1lem1 9587 . . 3 (1𝑜𝐴 → (𝐴 +𝑐 2𝑜) ≼ 𝒫 𝐴)
6 domtr 8125 . . 3 (((𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ (𝐴 +𝑐 2𝑜) ∧ (𝐴 +𝑐 2𝑜) ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ 𝒫 𝐴)
74, 5, 6sylancr 698 . 2 (1𝑜𝐴 → (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ 𝒫 𝐴)
8 fal 1603 . . 3 ¬ ⊥
9 ensym 8121 . . . . 5 ((𝐴 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 1𝑜))
10 bren 8081 . . . . 5 (𝒫 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 1𝑜) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 +𝑐 1𝑜))
119, 10sylib 208 . . . 4 ((𝐴 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝒫 𝐴 → ∃𝑓 𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 +𝑐 1𝑜))
12 f1of 6250 . . . . . . . . . 10 (𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 +𝑐 1𝑜) → 𝑓:𝒫 𝐴⟶(𝐴 +𝑐 1𝑜))
13 relsdom 8079 . . . . . . . . . . . 12 Rel ≺
1413brrelex2i 5268 . . . . . . . . . . 11 (1𝑜𝐴𝐴 ∈ V)
15 pwidg 4281 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐴)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . 10 (1𝑜𝐴𝐴 ∈ 𝒫 𝐴)
17 ffvelrn 6472 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝒫 𝐴⟶(𝐴 +𝑐 1𝑜) ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝑓𝐴) ∈ (𝐴 +𝑐 1𝑜))
1812, 16, 17syl2anr 496 . . . . . . . . 9 ((1𝑜𝐴𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 +𝑐 1𝑜)) → (𝑓𝐴) ∈ (𝐴 +𝑐 1𝑜))
19 cda1dif 9111 . . . . . . . . 9 ((𝑓𝐴) ∈ (𝐴 +𝑐 1𝑜) → ((𝐴 +𝑐 1𝑜) ∖ {(𝑓𝐴)}) ≈ 𝐴)
2018, 19syl 17 . . . . . . . 8 ((1𝑜𝐴𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 +𝑐 1𝑜)) → ((𝐴 +𝑐 1𝑜) ∖ {(𝑓𝐴)}) ≈ 𝐴)
21 bren 8081 . . . . . . . 8 (((𝐴 +𝑐 1𝑜) ∖ {(𝑓𝐴)}) ≈ 𝐴 ↔ ∃𝑔 𝑔:((𝐴 +𝑐 1𝑜) ∖ {(𝑓𝐴)})–1-1-onto𝐴)
2220, 21sylib 208 . . . . . . 7 ((1𝑜𝐴𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 +𝑐 1𝑜)) → ∃𝑔 𝑔:((𝐴 +𝑐 1𝑜) ∖ {(𝑓𝐴)})–1-1-onto𝐴)
23 simpll 807 . . . . . . . . 9 (((1𝑜𝐴𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 +𝑐 1𝑜)) ∧ 𝑔:((𝐴 +𝑐 1𝑜) ∖ {(𝑓𝐴)})–1-1-onto𝐴) → 1𝑜𝐴)
24 simplr 809 . . . . . . . . 9 (((1𝑜𝐴𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 +𝑐 1𝑜)) ∧ 𝑔:((𝐴 +𝑐 1𝑜) ∖ {(𝑓𝐴)})–1-1-onto𝐴) → 𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 +𝑐 1𝑜))
25 simpr 479 . . . . . . . . 9 (((1𝑜𝐴𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 +𝑐 1𝑜)) ∧ 𝑔:((𝐴 +𝑐 1𝑜) ∖ {(𝑓𝐴)})–1-1-onto𝐴) → 𝑔:((𝐴 +𝑐 1𝑜) ∖ {(𝑓𝐴)})–1-1-onto𝐴)
26 eqeq1 2728 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 = 𝐴𝑥 = 𝐴))
27 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑥𝑤 = 𝑥)
2826, 27ifbieq2d 4219 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑥 → if(𝑤 = 𝐴, ∅, 𝑤) = if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))
2928cbvmptv 4858 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑤 = 𝐴, ∅, 𝑤)) = (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))
3029coeq2i 5390 . . . . . . . . 9 ((𝑔𝑓) ∘ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑤 = 𝐴, ∅, 𝑤))) = ((𝑔𝑓) ∘ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥)))
31 eqid 2724 . . . . . . . . . 10 {⟨𝑎, 𝑠⟩ ∣ ((𝑎𝐴𝑠 ⊆ (𝑎 × 𝑎)) ∧ (𝑠 We 𝑎 ∧ ∀𝑧𝑎 (((𝑔𝑓) ∘ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑤 = 𝐴, ∅, 𝑤)))‘(𝑠 “ {𝑧})) = 𝑧))} = {⟨𝑎, 𝑠⟩ ∣ ((𝑎𝐴𝑠 ⊆ (𝑎 × 𝑎)) ∧ (𝑠 We 𝑎 ∧ ∀𝑧𝑎 (((𝑔𝑓) ∘ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑤 = 𝐴, ∅, 𝑤)))‘(𝑠 “ {𝑧})) = 𝑧))}
3231fpwwecbv 9579 . . . . . . . . 9 {⟨𝑎, 𝑠⟩ ∣ ((𝑎𝐴𝑠 ⊆ (𝑎 × 𝑎)) ∧ (𝑠 We 𝑎 ∧ ∀𝑧𝑎 (((𝑔𝑓) ∘ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑤 = 𝐴, ∅, 𝑤)))‘(𝑠 “ {𝑧})) = 𝑧))} = {⟨𝑥, 𝑟⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑟 ⊆ (𝑥 × 𝑥)) ∧ (𝑟 We 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (((𝑔𝑓) ∘ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑤 = 𝐴, ∅, 𝑤)))‘(𝑟 “ {𝑦})) = 𝑦))}
33 eqid 2724 . . . . . . . . 9 dom {⟨𝑎, 𝑠⟩ ∣ ((𝑎𝐴𝑠 ⊆ (𝑎 × 𝑎)) ∧ (𝑠 We 𝑎 ∧ ∀𝑧𝑎 (((𝑔𝑓) ∘ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑤 = 𝐴, ∅, 𝑤)))‘(𝑠 “ {𝑧})) = 𝑧))} = dom {⟨𝑎, 𝑠⟩ ∣ ((𝑎𝐴𝑠 ⊆ (𝑎 × 𝑎)) ∧ (𝑠 We 𝑎 ∧ ∀𝑧𝑎 (((𝑔𝑓) ∘ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑤 = 𝐴, ∅, 𝑤)))‘(𝑠 “ {𝑧})) = 𝑧))}
3423, 24, 25, 30, 32, 33canthp1lem2 9588 . . . . . . . 8 ¬ ((1𝑜𝐴𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 +𝑐 1𝑜)) ∧ 𝑔:((𝐴 +𝑐 1𝑜) ∖ {(𝑓𝐴)})–1-1-onto𝐴)
3534pm2.21i 116 . . . . . . 7 (((1𝑜𝐴𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 +𝑐 1𝑜)) ∧ 𝑔:((𝐴 +𝑐 1𝑜) ∖ {(𝑓𝐴)})–1-1-onto𝐴) → ⊥)
3622, 35exlimddv 1976 . . . . . 6 ((1𝑜𝐴𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 +𝑐 1𝑜)) → ⊥)
3736ex 449 . . . . 5 (1𝑜𝐴 → (𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 +𝑐 1𝑜) → ⊥))
3837exlimdv 1974 . . . 4 (1𝑜𝐴 → (∃𝑓 𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 +𝑐 1𝑜) → ⊥))
3911, 38syl5 34 . . 3 (1𝑜𝐴 → ((𝐴 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝒫 𝐴 → ⊥))
408, 39mtoi 190 . 2 (1𝑜𝐴 → ¬ (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝒫 𝐴)
41 brsdom 8095 . 2 ((𝐴 +𝑐 1𝑜) ≺ 𝒫 𝐴 ↔ ((𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ 𝒫 𝐴 ∧ ¬ (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝒫 𝐴))
427, 40, 41sylanbrc 701 1 (1𝑜𝐴 → (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≺ 𝒫 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1596  wfal 1601  wex 1817  wcel 2103  wral 3014  Vcvv 3304  cdif 3677  wss 3680  c0 4023  ifcif 4194  𝒫 cpw 4266  {csn 4285   cuni 4544   class class class wbr 4760  {copab 4820  cmpt 4837   We wwe 5176   × cxp 5216  ccnv 5217  dom cdm 5218  cima 5221  ccom 5222  wf 5997  1-1-ontowf1o 6000  cfv 6001  (class class class)co 6765  1𝑜c1o 7673  2𝑜c2o 7674  cen 8069  cdom 8070  csdm 8071   +𝑐 ccda 9102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-inf2 8651
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-fal 1602  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-2o 7681  df-oadd 7684  df-er 7862  df-map 7976  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-oi 8531  df-card 8878  df-cda 9103
This theorem is referenced by:  finngch  9590  gchcda1  9591
  Copyright terms: Public domain W3C validator