MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  canthp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem canthp1 9420
Description: A slightly stronger form of Cantor's theorem: For 1 < 𝑛, 𝑛 + 1 < 2↑𝑛. Corollary 1.6 of [KanamoriPincus] p. 417. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
canthp1 (1𝑜𝐴 → (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≺ 𝒫 𝐴)

Proof of Theorem canthp1
Dummy variables 𝑓 𝑎 𝑔 𝑟 𝑠 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1sdom2 8103 . . . 4 1𝑜 ≺ 2𝑜
2 sdomdom 7927 . . . 4 (1𝑜 ≺ 2𝑜 → 1𝑜 ≼ 2𝑜)
3 cdadom2 8953 . . . 4 (1𝑜 ≼ 2𝑜 → (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ (𝐴 +𝑐 2𝑜))
41, 2, 3mp2b 10 . . 3 (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ (𝐴 +𝑐 2𝑜)
5 canthp1lem1 9418 . . 3 (1𝑜𝐴 → (𝐴 +𝑐 2𝑜) ≼ 𝒫 𝐴)
6 domtr 7953 . . 3 (((𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ (𝐴 +𝑐 2𝑜) ∧ (𝐴 +𝑐 2𝑜) ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ 𝒫 𝐴)
74, 5, 6sylancr 694 . 2 (1𝑜𝐴 → (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ 𝒫 𝐴)
8 fal 1487 . . 3 ¬ ⊥
9 ensym 7949 . . . . 5 ((𝐴 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 1𝑜))
10 bren 7908 . . . . 5 (𝒫 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 1𝑜) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 +𝑐 1𝑜))
119, 10sylib 208 . . . 4 ((𝐴 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝒫 𝐴 → ∃𝑓 𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 +𝑐 1𝑜))
12 f1of 6094 . . . . . . . . . 10 (𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 +𝑐 1𝑜) → 𝑓:𝒫 𝐴⟶(𝐴 +𝑐 1𝑜))
13 relsdom 7906 . . . . . . . . . . . 12 Rel ≺
1413brrelex2i 5119 . . . . . . . . . . 11 (1𝑜𝐴𝐴 ∈ V)
15 pwidg 4144 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐴)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . 10 (1𝑜𝐴𝐴 ∈ 𝒫 𝐴)
17 ffvelrn 6313 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝒫 𝐴⟶(𝐴 +𝑐 1𝑜) ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝑓𝐴) ∈ (𝐴 +𝑐 1𝑜))
1812, 16, 17syl2anr 495 . . . . . . . . 9 ((1𝑜𝐴𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 +𝑐 1𝑜)) → (𝑓𝐴) ∈ (𝐴 +𝑐 1𝑜))
19 cda1dif 8942 . . . . . . . . 9 ((𝑓𝐴) ∈ (𝐴 +𝑐 1𝑜) → ((𝐴 +𝑐 1𝑜) ∖ {(𝑓𝐴)}) ≈ 𝐴)
2018, 19syl 17 . . . . . . . 8 ((1𝑜𝐴𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 +𝑐 1𝑜)) → ((𝐴 +𝑐 1𝑜) ∖ {(𝑓𝐴)}) ≈ 𝐴)
21 bren 7908 . . . . . . . 8 (((𝐴 +𝑐 1𝑜) ∖ {(𝑓𝐴)}) ≈ 𝐴 ↔ ∃𝑔 𝑔:((𝐴 +𝑐 1𝑜) ∖ {(𝑓𝐴)})–1-1-onto𝐴)
2220, 21sylib 208 . . . . . . 7 ((1𝑜𝐴𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 +𝑐 1𝑜)) → ∃𝑔 𝑔:((𝐴 +𝑐 1𝑜) ∖ {(𝑓𝐴)})–1-1-onto𝐴)
23 simpll 789 . . . . . . . . 9 (((1𝑜𝐴𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 +𝑐 1𝑜)) ∧ 𝑔:((𝐴 +𝑐 1𝑜) ∖ {(𝑓𝐴)})–1-1-onto𝐴) → 1𝑜𝐴)
24 simplr 791 . . . . . . . . 9 (((1𝑜𝐴𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 +𝑐 1𝑜)) ∧ 𝑔:((𝐴 +𝑐 1𝑜) ∖ {(𝑓𝐴)})–1-1-onto𝐴) → 𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 +𝑐 1𝑜))
25 simpr 477 . . . . . . . . 9 (((1𝑜𝐴𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 +𝑐 1𝑜)) ∧ 𝑔:((𝐴 +𝑐 1𝑜) ∖ {(𝑓𝐴)})–1-1-onto𝐴) → 𝑔:((𝐴 +𝑐 1𝑜) ∖ {(𝑓𝐴)})–1-1-onto𝐴)
26 eqeq1 2625 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 = 𝐴𝑥 = 𝐴))
27 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑥𝑤 = 𝑥)
2826, 27ifbieq2d 4083 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑥 → if(𝑤 = 𝐴, ∅, 𝑤) = if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))
2928cbvmptv 4710 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑤 = 𝐴, ∅, 𝑤)) = (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))
3029coeq2i 5242 . . . . . . . . 9 ((𝑔𝑓) ∘ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑤 = 𝐴, ∅, 𝑤))) = ((𝑔𝑓) ∘ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥)))
31 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 {⟨𝑎, 𝑠⟩ ∣ ((𝑎𝐴𝑠 ⊆ (𝑎 × 𝑎)) ∧ (𝑠 We 𝑎 ∧ ∀𝑧𝑎 (((𝑔𝑓) ∘ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑤 = 𝐴, ∅, 𝑤)))‘(𝑠 “ {𝑧})) = 𝑧))} = {⟨𝑎, 𝑠⟩ ∣ ((𝑎𝐴𝑠 ⊆ (𝑎 × 𝑎)) ∧ (𝑠 We 𝑎 ∧ ∀𝑧𝑎 (((𝑔𝑓) ∘ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑤 = 𝐴, ∅, 𝑤)))‘(𝑠 “ {𝑧})) = 𝑧))}
3231fpwwecbv 9410 . . . . . . . . 9 {⟨𝑎, 𝑠⟩ ∣ ((𝑎𝐴𝑠 ⊆ (𝑎 × 𝑎)) ∧ (𝑠 We 𝑎 ∧ ∀𝑧𝑎 (((𝑔𝑓) ∘ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑤 = 𝐴, ∅, 𝑤)))‘(𝑠 “ {𝑧})) = 𝑧))} = {⟨𝑥, 𝑟⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑟 ⊆ (𝑥 × 𝑥)) ∧ (𝑟 We 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (((𝑔𝑓) ∘ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑤 = 𝐴, ∅, 𝑤)))‘(𝑟 “ {𝑦})) = 𝑦))}
33 eqid 2621 . . . . . . . . 9 dom {⟨𝑎, 𝑠⟩ ∣ ((𝑎𝐴𝑠 ⊆ (𝑎 × 𝑎)) ∧ (𝑠 We 𝑎 ∧ ∀𝑧𝑎 (((𝑔𝑓) ∘ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑤 = 𝐴, ∅, 𝑤)))‘(𝑠 “ {𝑧})) = 𝑧))} = dom {⟨𝑎, 𝑠⟩ ∣ ((𝑎𝐴𝑠 ⊆ (𝑎 × 𝑎)) ∧ (𝑠 We 𝑎 ∧ ∀𝑧𝑎 (((𝑔𝑓) ∘ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑤 = 𝐴, ∅, 𝑤)))‘(𝑠 “ {𝑧})) = 𝑧))}
3423, 24, 25, 30, 32, 33canthp1lem2 9419 . . . . . . . 8 ¬ ((1𝑜𝐴𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 +𝑐 1𝑜)) ∧ 𝑔:((𝐴 +𝑐 1𝑜) ∖ {(𝑓𝐴)})–1-1-onto𝐴)
3534pm2.21i 116 . . . . . . 7 (((1𝑜𝐴𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 +𝑐 1𝑜)) ∧ 𝑔:((𝐴 +𝑐 1𝑜) ∖ {(𝑓𝐴)})–1-1-onto𝐴) → ⊥)
3622, 35exlimddv 1860 . . . . . 6 ((1𝑜𝐴𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 +𝑐 1𝑜)) → ⊥)
3736ex 450 . . . . 5 (1𝑜𝐴 → (𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 +𝑐 1𝑜) → ⊥))
3837exlimdv 1858 . . . 4 (1𝑜𝐴 → (∃𝑓 𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 +𝑐 1𝑜) → ⊥))
3911, 38syl5 34 . . 3 (1𝑜𝐴 → ((𝐴 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝒫 𝐴 → ⊥))
408, 39mtoi 190 . 2 (1𝑜𝐴 → ¬ (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝒫 𝐴)
41 brsdom 7922 . 2 ((𝐴 +𝑐 1𝑜) ≺ 𝒫 𝐴 ↔ ((𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ 𝒫 𝐴 ∧ ¬ (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝒫 𝐴))
427, 40, 41sylanbrc 697 1 (1𝑜𝐴 → (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≺ 𝒫 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wfal 1485  wex 1701  wcel 1987  wral 2907  Vcvv 3186  cdif 3552  wss 3555  c0 3891  ifcif 4058  𝒫 cpw 4130  {csn 4148   cuni 4402   class class class wbr 4613  {copab 4672  cmpt 4673   We wwe 5032   × cxp 5072  ccnv 5073  dom cdm 5074  cima 5077  ccom 5078  wf 5843  1-1-ontowf1o 5846  cfv 5847  (class class class)co 6604  1𝑜c1o 7498  2𝑜c2o 7499  cen 7896  cdom 7897  csdm 7898   +𝑐 ccda 8933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934
This theorem is referenced by:  finngch  9421  gchcda1  9422
  Copyright terms: Public domain W3C validator