MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  canthp1lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem canthp1lem1 9418
Description: Lemma for canthp1 9420. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
canthp1lem1 (1𝑜𝐴 → (𝐴 +𝑐 2𝑜) ≼ 𝒫 𝐴)

Proof of Theorem canthp1lem1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1sdom2 8103 . . 3 1𝑜 ≺ 2𝑜
2 cdaxpdom 8955 . . 3 ((1𝑜𝐴 ∧ 1𝑜 ≺ 2𝑜) → (𝐴 +𝑐 2𝑜) ≼ (𝐴 × 2𝑜))
31, 2mpan2 706 . 2 (1𝑜𝐴 → (𝐴 +𝑐 2𝑜) ≼ (𝐴 × 2𝑜))
4 sdom0 8036 . . . . . 6 ¬ 1𝑜 ≺ ∅
5 breq2 4617 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → (1𝑜𝐴 ↔ 1𝑜 ≺ ∅))
64, 5mtbiri 317 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → ¬ 1𝑜𝐴)
76con2i 134 . . . 4 (1𝑜𝐴 → ¬ 𝐴 = ∅)
8 neq0 3906 . . . 4 𝐴 = ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴)
97, 8sylib 208 . . 3 (1𝑜𝐴 → ∃𝑥 𝑥𝐴)
10 relsdom 7906 . . . . . . . . . 10 Rel ≺
1110brrelex2i 5119 . . . . . . . . 9 (1𝑜𝐴𝐴 ∈ V)
1211adantr 481 . . . . . . . 8 ((1𝑜𝐴𝑥𝐴) → 𝐴 ∈ V)
13 enrefg 7931 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ V → 𝐴𝐴)
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 ((1𝑜𝐴𝑥𝐴) → 𝐴𝐴)
15 df2o2 7519 . . . . . . . . 9 2𝑜 = {∅, {∅}}
16 pwpw0 4312 . . . . . . . . 9 𝒫 {∅} = {∅, {∅}}
1715, 16eqtr4i 2646 . . . . . . . 8 2𝑜 = 𝒫 {∅}
18 0ex 4750 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ V
19 vex 3189 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
20 en2sn 7981 . . . . . . . . . 10 ((∅ ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → {∅} ≈ {𝑥})
2118, 19, 20mp2an 707 . . . . . . . . 9 {∅} ≈ {𝑥}
22 pwen 8077 . . . . . . . . 9 ({∅} ≈ {𝑥} → 𝒫 {∅} ≈ 𝒫 {𝑥})
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝒫 {∅} ≈ 𝒫 {𝑥}
2417, 23eqbrtri 4634 . . . . . . 7 2𝑜 ≈ 𝒫 {𝑥}
25 xpen 8067 . . . . . . 7 ((𝐴𝐴 ∧ 2𝑜 ≈ 𝒫 {𝑥}) → (𝐴 × 2𝑜) ≈ (𝐴 × 𝒫 {𝑥}))
2614, 24, 25sylancl 693 . . . . . 6 ((1𝑜𝐴𝑥𝐴) → (𝐴 × 2𝑜) ≈ (𝐴 × 𝒫 {𝑥}))
27 snex 4869 . . . . . . . 8 {𝑥} ∈ V
2827pwex 4808 . . . . . . 7 𝒫 {𝑥} ∈ V
29 uncom 3735 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = ({𝑥} ∪ (𝐴 ∖ {𝑥}))
30 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((1𝑜𝐴𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
3130snssd 4309 . . . . . . . . . 10 ((1𝑜𝐴𝑥𝐴) → {𝑥} ⊆ 𝐴)
32 undif 4021 . . . . . . . . . 10 ({𝑥} ⊆ 𝐴 ↔ ({𝑥} ∪ (𝐴 ∖ {𝑥})) = 𝐴)
3331, 32sylib 208 . . . . . . . . 9 ((1𝑜𝐴𝑥𝐴) → ({𝑥} ∪ (𝐴 ∖ {𝑥})) = 𝐴)
3429, 33syl5eq 2667 . . . . . . . 8 ((1𝑜𝐴𝑥𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = 𝐴)
35 difexg 4768 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ V)
3612, 35syl 17 . . . . . . . . 9 ((1𝑜𝐴𝑥𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ V)
37 canth2g 8058 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ V → (𝐴 ∖ {𝑥}) ≺ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}))
38 domunsn 8054 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≺ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) ≼ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}))
3936, 37, 383syl 18 . . . . . . . 8 ((1𝑜𝐴𝑥𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) ≼ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}))
4034, 39eqbrtrrd 4637 . . . . . . 7 ((1𝑜𝐴𝑥𝐴) → 𝐴 ≼ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}))
41 xpdom1g 8001 . . . . . . 7 ((𝒫 {𝑥} ∈ V ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥})) → (𝐴 × 𝒫 {𝑥}) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
4228, 40, 41sylancr 694 . . . . . 6 ((1𝑜𝐴𝑥𝐴) → (𝐴 × 𝒫 {𝑥}) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
43 endomtr 7958 . . . . . 6 (((𝐴 × 2𝑜) ≈ (𝐴 × 𝒫 {𝑥}) ∧ (𝐴 × 𝒫 {𝑥}) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥})) → (𝐴 × 2𝑜) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
4426, 42, 43syl2anc 692 . . . . 5 ((1𝑜𝐴𝑥𝐴) → (𝐴 × 2𝑜) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
45 pwcdaen 8951 . . . . . . 7 (((𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ V ∧ {𝑥} ∈ V) → 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}) ≈ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
4636, 27, 45sylancl 693 . . . . . 6 ((1𝑜𝐴𝑥𝐴) → 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}) ≈ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
4746ensymd 7951 . . . . 5 ((1𝑜𝐴𝑥𝐴) → (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}) ≈ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}))
48 domentr 7959 . . . . 5 (((𝐴 × 2𝑜) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}) ∧ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}) ≈ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥})) → (𝐴 × 2𝑜) ≼ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}))
4944, 47, 48syl2anc 692 . . . 4 ((1𝑜𝐴𝑥𝐴) → (𝐴 × 2𝑜) ≼ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}))
5027a1i 11 . . . . . . 7 ((1𝑜𝐴𝑥𝐴) → {𝑥} ∈ V)
51 incom 3783 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ({𝑥} ∩ (𝐴 ∖ {𝑥}))
52 disjdif 4012 . . . . . . . . 9 ({𝑥} ∩ (𝐴 ∖ {𝑥})) = ∅
5351, 52eqtri 2643 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅
5453a1i 11 . . . . . . 7 ((1𝑜𝐴𝑥𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅)
55 cdaun 8938 . . . . . . 7 (((𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ V ∧ {𝑥} ∈ V ∧ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}) ≈ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
5636, 50, 54, 55syl3anc 1323 . . . . . 6 ((1𝑜𝐴𝑥𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}) ≈ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
5756, 34breqtrd 4639 . . . . 5 ((1𝑜𝐴𝑥𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}) ≈ 𝐴)
58 pwen 8077 . . . . 5 (((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}) ≈ 𝐴 → 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}) ≈ 𝒫 𝐴)
5957, 58syl 17 . . . 4 ((1𝑜𝐴𝑥𝐴) → 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}) ≈ 𝒫 𝐴)
60 domentr 7959 . . . 4 (((𝐴 × 2𝑜) ≼ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}) ∧ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝐴 × 2𝑜) ≼ 𝒫 𝐴)
6149, 59, 60syl2anc 692 . . 3 ((1𝑜𝐴𝑥𝐴) → (𝐴 × 2𝑜) ≼ 𝒫 𝐴)
629, 61exlimddv 1860 . 2 (1𝑜𝐴 → (𝐴 × 2𝑜) ≼ 𝒫 𝐴)
63 domtr 7953 . 2 (((𝐴 +𝑐 2𝑜) ≼ (𝐴 × 2𝑜) ∧ (𝐴 × 2𝑜) ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 +𝑐 2𝑜) ≼ 𝒫 𝐴)
643, 62, 63syl2anc 692 1 (1𝑜𝐴 → (𝐴 +𝑐 2𝑜) ≼ 𝒫 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  Vcvv 3186  cdif 3552  cun 3553  cin 3554  wss 3555  c0 3891  𝒫 cpw 4130  {csn 4148  {cpr 4150   class class class wbr 4613   × cxp 5072  (class class class)co 6604  1𝑜c1o 7498  2𝑜c2o 7499  cen 7896  cdom 7897  csdm 7898   +𝑐 ccda 8933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-1o 7505  df-2o 7506  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-cda 8934
This theorem is referenced by:  canthp1lem2  9419  canthp1  9420
  Copyright terms: Public domain W3C validator