Theorem canthp1lem1 10076

Description: Lemma for canthp1 10078. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
canthp1lem1	⊢ (1o ≺ 𝐴 → (𝐴 ⊔ 2o) ≼ 𝒫 𝐴)

Proof of Theorem canthp1lem1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1sdom2 8719	. . 3 ⊢ 1o ≺ 2o
2		djuxpdom 9613	. . 3 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 1o ≺ 2o) → (𝐴 ⊔ 2o) ≼ (𝐴 × 2o))
3	1, 2	mpan2 689	. 2 ⊢ (1o ≺ 𝐴 → (𝐴 ⊔ 2o) ≼ (𝐴 × 2o))
4		sdom0 8651	. . . . . 6 ⊢ ¬ 1o ≺ ∅
5		breq2 5072	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → (1o ≺ 𝐴 ↔ 1o ≺ ∅))
6	4, 5	mtbiri 329	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ 1o ≺ 𝐴)
7	6	con2i 141	. . . 4 ⊢ (1o ≺ 𝐴 → ¬ 𝐴 = ∅)
8		neq0 4311	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 = ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
9	7, 8	sylib 220	. . 3 ⊢ (1o ≺ 𝐴 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
10		relsdom 8518	. . . . . . . . . 10 ⊢ Rel ≺
11	10	brrelex2i 5611	. . . . . . . . 9 ⊢ (1o ≺ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
12	11	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
13		enrefg 8543	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ≈ 𝐴)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐴)
15		df2o2 8120	. . . . . . . . 9 ⊢ 2o = {∅, {∅}}
16		pwpw0 4748	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝒫 {∅} = {∅, {∅}}
17	15, 16	eqtr4i 2849	. . . . . . . 8 ⊢ 2o = 𝒫 {∅}
18		0ex 5213	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ V
19		vex 3499	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ V
20		en2sn 8595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → {∅} ≈ {𝑥})
21	18, 19, 20	mp2an 690	. . . . . . . . 9 ⊢ {∅} ≈ {𝑥}
22		pwen 8692	. . . . . . . . 9 ⊢ ({∅} ≈ {𝑥} → 𝒫 {∅} ≈ 𝒫 {𝑥})
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝒫 {∅} ≈ 𝒫 {𝑥}
24	17, 23	eqbrtri 5089	. . . . . . 7 ⊢ 2o ≈ 𝒫 {𝑥}
25		xpen 8682	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐴 ∧ 2o ≈ 𝒫 {𝑥}) → (𝐴 × 2o) ≈ (𝐴 × 𝒫 {𝑥}))
26	14, 24, 25	sylancl 588	. . . . . 6 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 × 2o) ≈ (𝐴 × 𝒫 {𝑥}))
27		snex 5334	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑥} ∈ V
28	27	pwex 5283	. . . . . . 7 ⊢ 𝒫 {𝑥} ∈ V
29		uncom 4131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = ({𝑥} ∪ (𝐴 ∖ {𝑥}))
30		simpr 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
31	30	snssd 4744	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {𝑥} ⊆ 𝐴)
32		undif 4432	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑥} ⊆ 𝐴 ↔ ({𝑥} ∪ (𝐴 ∖ {𝑥})) = 𝐴)
33	31, 32	sylib 220	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ({𝑥} ∪ (𝐴 ∖ {𝑥})) = 𝐴)
34	29, 33	syl5eq 2870	. . . . . . . 8 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = 𝐴)
35		difexg 5233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ V)
36	12, 35	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ V)
37		canth2g 8673	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ V → (𝐴 ∖ {𝑥}) ≺ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}))
38		domunsn 8669	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≺ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) ≼ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}))
39	36, 37, 38	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) ≼ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}))
40	34, 39	eqbrtrrd 5092	. . . . . . 7 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≼ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}))
41		xpdom1g 8616	. . . . . . 7 ⊢ ((𝒫 {𝑥} ∈ V ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥})) → (𝐴 × 𝒫 {𝑥}) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
42	28, 40, 41	sylancr 589	. . . . . 6 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 × 𝒫 {𝑥}) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
43		endomtr 8569	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 × 2o) ≈ (𝐴 × 𝒫 {𝑥}) ∧ (𝐴 × 𝒫 {𝑥}) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥})) → (𝐴 × 2o) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
44	26, 42, 43	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 × 2o) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
45		pwdjuen 9609	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ V ∧ {𝑥} ∈ V) → 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
46	36, 27, 45	sylancl 588	. . . . . 6 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
47	46	ensymd 8562	. . . . 5 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}) ≈ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}))
48		domentr 8570	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 × 2o) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}) ∧ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}) ≈ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥})) → (𝐴 × 2o) ≼ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}))
49	44, 47, 48	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 × 2o) ≼ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}))
50	27	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {𝑥} ∈ V)
51		incom 4180	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ({𝑥} ∩ (𝐴 ∖ {𝑥}))
52		disjdif 4423	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑥} ∩ (𝐴 ∖ {𝑥})) = ∅
53	51, 52	eqtri 2846	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅
54	53	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅)
55		endjudisj 9596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ V ∧ {𝑥} ∈ V ∧ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
56	36, 50, 54, 55	syl3anc 1367	. . . . . 6 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
57	56, 34	breqtrd 5094	. . . . 5 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ 𝐴)
58		pwen 8692	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ 𝐴 → 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ 𝒫 𝐴)
59	57, 58	syl 17	. . . 4 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ 𝒫 𝐴)
60		domentr 8570	. . . 4 ⊢ (((𝐴 × 2o) ≼ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ∧ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝐴 × 2o) ≼ 𝒫 𝐴)
61	49, 59, 60	syl2anc 586	. . 3 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 × 2o) ≼ 𝒫 𝐴)
62	9, 61	exlimddv 1936	. 2 ⊢ (1o ≺ 𝐴 → (𝐴 × 2o) ≼ 𝒫 𝐴)
63		domtr 8564	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊔ 2o) ≼ (𝐴 × 2o) ∧ (𝐴 × 2o) ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 2o) ≼ 𝒫 𝐴)
64	3, 62, 63	syl2anc 586	1 ⊢ (1o ≺ 𝐴 → (𝐴 ⊔ 2o) ≼ 𝒫 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537  ∃wex 1780   ∈ wcel 2114  Vcvv 3496   ∖ cdif 3935   ∪ cun 3936   ∩ cin 3937   ⊆ wss 3938  ∅c0 4293  𝒫 cpw 4541  {csn 4569  {cpr 4571   class class class wbr 5068   × cxp 5555  1_oc1o 8097  2_oc2o 8098   ≈ cen 8508   ≼ cdom 8509   ≺ csdm 8510   ⊔ cdju 9329

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-1o 8104  df-2o 8105  df-er 8291  df-map 8410  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-dju 9332

This theorem is referenced by:  canthp1lem2  10077  canthp1  10078