MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnfcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cantnfcl 8516
Description: Basic properties of the order isomorphism 𝐺 used later. The support of an 𝐹𝑆 is a finite subset of 𝐴, so it is well-ordered by E and the order isomorphism has domain a finite ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.) (Revised by AV, 28-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a (𝜑𝐴 ∈ On)
cantnfs.b (𝜑𝐵 ∈ On)
cantnfcl.g 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
cantnfcl.f (𝜑𝐹𝑆)
Assertion
Ref Expression
cantnfcl (𝜑 → ( E We (𝐹 supp ∅) ∧ dom 𝐺 ∈ ω))

Proof of Theorem cantnfcl
StepHypRef Expression
1 suppssdm 7260 . . . . 5 (𝐹 supp ∅) ⊆ dom 𝐹
2 cantnfcl.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹𝑆)
3 cantnfs.s . . . . . . . . 9 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
4 cantnfs.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ On)
5 cantnfs.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ On)
63, 4, 5cantnfs 8515 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑆 ↔ (𝐹:𝐵𝐴𝐹 finSupp ∅)))
72, 6mpbid 222 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹:𝐵𝐴𝐹 finSupp ∅))
87simpld 475 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐵𝐴)
9 fdm 6013 . . . . . 6 (𝐹:𝐵𝐴 → dom 𝐹 = 𝐵)
108, 9syl 17 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐵)
111, 10syl5sseq 3637 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ 𝐵)
12 onss 6944 . . . . 5 (𝐵 ∈ On → 𝐵 ⊆ On)
135, 12syl 17 . . . 4 (𝜑𝐵 ⊆ On)
1411, 13sstrd 3597 . . 3 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ On)
15 epweon 6937 . . 3 E We On
16 wess 5066 . . 3 ((𝐹 supp ∅) ⊆ On → ( E We On → E We (𝐹 supp ∅)))
1714, 15, 16mpisyl 21 . 2 (𝜑 → E We (𝐹 supp ∅))
18 ovexd 6640 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ V)
19 cantnfcl.g . . . . . 6 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
2019oion 8393 . . . . 5 ((𝐹 supp ∅) ∈ V → dom 𝐺 ∈ On)
2118, 20syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom 𝐺 ∈ On)
227simprd 479 . . . . . 6 (𝜑𝐹 finSupp ∅)
2322fsuppimpd 8234 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ Fin)
2419oien 8395 . . . . . 6 (((𝐹 supp ∅) ∈ V ∧ E We (𝐹 supp ∅)) → dom 𝐺 ≈ (𝐹 supp ∅))
2518, 17, 24syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝐺 ≈ (𝐹 supp ∅))
26 enfii 8129 . . . . 5 (((𝐹 supp ∅) ∈ Fin ∧ dom 𝐺 ≈ (𝐹 supp ∅)) → dom 𝐺 ∈ Fin)
2723, 25, 26syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → dom 𝐺 ∈ Fin)
2821, 27elind 3781 . . 3 (𝜑 → dom 𝐺 ∈ (On ∩ Fin))
29 onfin2 8104 . . 3 ω = (On ∩ Fin)
3028, 29syl6eleqr 2709 . 2 (𝜑 → dom 𝐺 ∈ ω)
3117, 30jca 554 1 (𝜑 → ( E We (𝐹 supp ∅) ∧ dom 𝐺 ∈ ω))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3189  cin 3558  wss 3559  c0 3896   class class class wbr 4618   E cep 4988   We wwe 5037  dom cdm 5079  Oncon0 5687  wf 5848  (class class class)co 6610  ωcom 7019   supp csupp 7247  cen 7904  Fincfn 7907   finSupp cfsupp 8227  OrdIsocoi 8366   CNF ccnf 8510
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-seqom 7495  df-er 7694  df-map 7811  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-fsupp 8228  df-oi 8367  df-cnf 8511
This theorem is referenced by:  cantnfval2  8518  cantnfle  8520  cantnflt  8521  cantnflt2  8522  cantnff  8523  cantnfp1lem2  8528  cantnfp1lem3  8529  cantnflem1b  8535  cantnflem1d  8537  cantnflem1  8538  cnfcomlem  8548  cnfcom  8549  cnfcom2lem  8550  cnfcom3lem  8552
  Copyright terms: Public domain W3C validator