MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnff Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cantnff 8684
Description: The CNF function is a function from finitely supported functions from 𝐵 to 𝐴, to the ordinal exponential 𝐴𝑜 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a (𝜑𝐴 ∈ On)
cantnfs.b (𝜑𝐵 ∈ On)
Assertion
Ref Expression
cantnff (𝜑 → (𝐴 CNF 𝐵):𝑆⟶(𝐴𝑜 𝐵))

Proof of Theorem cantnff
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑘 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 6314 . . . 4 (seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴𝑜 (𝑘)) ·𝑜 (𝑓‘(𝑘))) +𝑜 𝑧)), ∅)‘dom ) ∈ V
21csbex 4901 . . 3 OrdIso( E , (𝑓 supp ∅)) / (seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴𝑜 (𝑘)) ·𝑜 (𝑓‘(𝑘))) +𝑜 𝑧)), ∅)‘dom ) ∈ V
32a1i 11 . 2 ((𝜑𝑓𝑆) → OrdIso( E , (𝑓 supp ∅)) / (seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴𝑜 (𝑘)) ·𝑜 (𝑓‘(𝑘))) +𝑜 𝑧)), ∅)‘dom ) ∈ V)
4 eqid 2724 . . . 4 {𝑔 ∈ (𝐴𝑚 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅} = {𝑔 ∈ (𝐴𝑚 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅}
5 cantnfs.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ On)
6 cantnfs.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ On)
74, 5, 6cantnffval 8673 . . 3 (𝜑 → (𝐴 CNF 𝐵) = (𝑓 ∈ {𝑔 ∈ (𝐴𝑚 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅} ↦ OrdIso( E , (𝑓 supp ∅)) / (seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴𝑜 (𝑘)) ·𝑜 (𝑓‘(𝑘))) +𝑜 𝑧)), ∅)‘dom )))
8 cantnfs.s . . . . 5 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
94, 5, 6cantnfdm 8674 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝐴 CNF 𝐵) = {𝑔 ∈ (𝐴𝑚 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅})
108, 9syl5eq 2770 . . . 4 (𝜑𝑆 = {𝑔 ∈ (𝐴𝑚 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅})
1110mpteq1d 4846 . . 3 (𝜑 → (𝑓𝑆OrdIso( E , (𝑓 supp ∅)) / (seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴𝑜 (𝑘)) ·𝑜 (𝑓‘(𝑘))) +𝑜 𝑧)), ∅)‘dom )) = (𝑓 ∈ {𝑔 ∈ (𝐴𝑚 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅} ↦ OrdIso( E , (𝑓 supp ∅)) / (seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴𝑜 (𝑘)) ·𝑜 (𝑓‘(𝑘))) +𝑜 𝑧)), ∅)‘dom )))
127, 11eqtr4d 2761 . 2 (𝜑 → (𝐴 CNF 𝐵) = (𝑓𝑆OrdIso( E , (𝑓 supp ∅)) / (seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴𝑜 (𝑘)) ·𝑜 (𝑓‘(𝑘))) +𝑜 𝑧)), ∅)‘dom )))
135adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ On)
146adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵 ∈ On)
15 eqid 2724 . . . . . . . 8 OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) = OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))
16 simpr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑥𝑆)
17 eqid 2724 . . . . . . . 8 seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴𝑜 (OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘)) ·𝑜 (𝑥‘(OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘))) +𝑜 𝑧)), ∅) = seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴𝑜 (OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘)) ·𝑜 (𝑥‘(OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘))) +𝑜 𝑧)), ∅)
188, 13, 14, 15, 16, 17cantnfval 8678 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑆) → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) = (seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴𝑜 (OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘)) ·𝑜 (𝑥‘(OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘))) +𝑜 𝑧)), ∅)‘dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))))
1918adantr 472 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) = (seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴𝑜 (OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘)) ·𝑜 (𝑥‘(OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘))) +𝑜 𝑧)), ∅)‘dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))))
20 ovex 6793 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 supp ∅) ∈ V
218, 13, 14, 15, 16cantnfcl 8677 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝑆) → ( E We (𝑥 supp ∅) ∧ dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) ∈ ω))
2221simpld 477 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑆) → E We (𝑥 supp ∅))
2315oien 8559 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 supp ∅) ∈ V ∧ E We (𝑥 supp ∅)) → dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) ≈ (𝑥 supp ∅))
2420, 22, 23sylancr 698 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑆) → dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) ≈ (𝑥 supp ∅))
2524adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) ≈ (𝑥 supp ∅))
26 suppssdm 7428 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 supp ∅) ⊆ dom 𝑥
278, 5, 6cantnfs 8676 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥𝑆 ↔ (𝑥:𝐵𝐴𝑥 finSupp ∅)))
2827simprbda 654 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑥:𝐵𝐴)
29 fdm 6164 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥:𝐵𝐴 → dom 𝑥 = 𝐵)
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑆) → dom 𝑥 = 𝐵)
3126, 30syl5sseq 3759 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝑥 supp ∅) ⊆ 𝐵)
32 feq3 6141 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 = ∅ → (𝑥:𝐵𝐴𝑥:𝐵⟶∅))
3328, 32syl5ibcom 235 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝐴 = ∅ → 𝑥:𝐵⟶∅))
3433imp 444 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝑥:𝐵⟶∅)
35 f00 6200 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥:𝐵⟶∅ ↔ (𝑥 = ∅ ∧ 𝐵 = ∅))
3634, 35sylib 208 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑥 = ∅ ∧ 𝐵 = ∅))
3736simprd 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐵 = ∅)
38 sseq0 4083 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 supp ∅) ⊆ 𝐵𝐵 = ∅) → (𝑥 supp ∅) = ∅)
3931, 37, 38syl2an2r 911 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑥 supp ∅) = ∅)
4025, 39breqtrd 4786 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) ≈ ∅)
41 en0 8135 . . . . . . . 8 (dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) ≈ ∅ ↔ dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) = ∅)
4240, 41sylib 208 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) = ∅)
4342fveq2d 6308 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → (seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴𝑜 (OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘)) ·𝑜 (𝑥‘(OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘))) +𝑜 𝑧)), ∅)‘dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))) = (seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴𝑜 (OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘)) ·𝑜 (𝑥‘(OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘))) +𝑜 𝑧)), ∅)‘∅))
44 0ex 4898 . . . . . . 7 ∅ ∈ V
4517seqom0g 7671 . . . . . . 7 (∅ ∈ V → (seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴𝑜 (OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘)) ·𝑜 (𝑥‘(OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘))) +𝑜 𝑧)), ∅)‘∅) = ∅)
4644, 45mp1i 13 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → (seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴𝑜 (OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘)) ·𝑜 (𝑥‘(OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘))) +𝑜 𝑧)), ∅)‘∅) = ∅)
4719, 43, 463eqtrd 2762 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) = ∅)
48 el1o 7699 . . . . 5 (((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) ∈ 1𝑜 ↔ ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) = ∅)
4947, 48sylibr 224 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) ∈ 1𝑜)
5037oveq2d 6781 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴𝑜 𝐵) = (𝐴𝑜 ∅))
5113adantr 472 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ∈ On)
52 oe0 7722 . . . . . 6 (𝐴 ∈ On → (𝐴𝑜 ∅) = 1𝑜)
5351, 52syl 17 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴𝑜 ∅) = 1𝑜)
5450, 53eqtrd 2758 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴𝑜 𝐵) = 1𝑜)
5549, 54eleqtrrd 2806 . . 3 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) ∈ (𝐴𝑜 𝐵))
5613adantr 472 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ On)
5714adantr 472 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐵 ∈ On)
5816adantr 472 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝑥𝑆)
59 on0eln0 5893 . . . . . 6 (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
6013, 59syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑆) → (∅ ∈ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
6160biimpar 503 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ∈ 𝐴)
6231adantr 472 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑥 supp ∅) ⊆ 𝐵)
638, 56, 57, 58, 61, 57, 62cantnflt2 8683 . . 3 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) ∈ (𝐴𝑜 𝐵))
6455, 63pm2.61dane 2983 . 2 ((𝜑𝑥𝑆) → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) ∈ (𝐴𝑜 𝐵))
653, 12, 64fmpt2d 6508 1 (𝜑 → (𝐴 CNF 𝐵):𝑆⟶(𝐴𝑜 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1596  wcel 2103  wne 2896  {crab 3018  Vcvv 3304  csb 3639  wss 3680  c0 4023   class class class wbr 4760  cmpt 4837   E cep 5132   We wwe 5176  dom cdm 5218  Oncon0 5836  wf 5997  cfv 6001  (class class class)co 6765  cmpt2 6767  ωcom 7182   supp csupp 7415  seq𝜔cseqom 7662  1𝑜c1o 7673   +𝑜 coa 7677   ·𝑜 comu 7678  𝑜 coe 7679  𝑚 cmap 7974  cen 8069   finSupp cfsupp 8391  OrdIsocoi 8530   CNF ccnf 8671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-fal 1602  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-supp 7416  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-seqom 7663  df-1o 7680  df-2o 7681  df-oadd 7684  df-omul 7685  df-oexp 7686  df-er 7862  df-map 7976  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-fsupp 8392  df-oi 8531  df-cnf 8672
This theorem is referenced by:  cantnfp1  8691  cantnflem1  8699  cantnflem3  8701  cantnflem4  8702  cantnf  8703
  Copyright terms: Public domain W3C validator