Theorem cantnff 9139

Description: The CNF function is a function from finitely supported functions from 𝐵 to 𝐴, to the ordinal exponential 𝐴 ↑_o 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfs.s	⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
cantnfs.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)

Assertion

Ref	Expression
cantnff	⊢ (𝜑 → (𝐴 CNF 𝐵):𝑆⟶(𝐴 ↑o 𝐵))

Proof of Theorem cantnff

Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ 𝑘 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6685	. . . 4 ⊢ (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (ℎ‘𝑘)) ·o (𝑓‘(ℎ‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom ℎ) ∈ V
2	1	csbex 5217	. . 3 ⊢ ⦋OrdIso( E , (𝑓 supp ∅)) / ℎ⦌(seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (ℎ‘𝑘)) ·o (𝑓‘(ℎ‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom ℎ) ∈ V
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) → ⦋OrdIso( E , (𝑓 supp ∅)) / ℎ⦌(seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (ℎ‘𝑘)) ·o (𝑓‘(ℎ‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom ℎ) ∈ V)
4		eqid 2823	. . . 4 ⊢ {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅} = {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅}
5		cantnfs.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
6		cantnfs.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
7	4, 5, 6	cantnffval 9128	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 CNF 𝐵) = (𝑓 ∈ {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅} ↦ ⦋OrdIso( E , (𝑓 supp ∅)) / ℎ⦌(seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (ℎ‘𝑘)) ·o (𝑓‘(ℎ‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom ℎ)))
8		cantnfs.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
9	4, 5, 6	cantnfdm 9129	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝐴 CNF 𝐵) = {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅})
10	8, 9	syl5eq 2870	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅})
11	10	mpteq1d 5157	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝑆 ↦ ⦋OrdIso( E , (𝑓 supp ∅)) / ℎ⦌(seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (ℎ‘𝑘)) ·o (𝑓‘(ℎ‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom ℎ)) = (𝑓 ∈ {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅} ↦ ⦋OrdIso( E , (𝑓 supp ∅)) / ℎ⦌(seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (ℎ‘𝑘)) ·o (𝑓‘(ℎ‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom ℎ)))
12	7, 11	eqtr4d 2861	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 CNF 𝐵) = (𝑓 ∈ 𝑆 ↦ ⦋OrdIso( E , (𝑓 supp ∅)) / ℎ⦌(seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (ℎ‘𝑘)) ·o (𝑓‘(ℎ‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom ℎ)))
13	5	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ On)
14	6	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ On)
15		eqid 2823	. . . . . . . 8 ⊢ OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) = OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))
16		simpr 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
17		eqid 2823	. . . . . . . 8 ⊢ seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝑥‘(OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅) = seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝑥‘(OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)
18	8, 13, 14, 15, 16, 17	cantnfval 9133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) = (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝑥‘(OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))))
19	18	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) = (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝑥‘(OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))))
20		ovex 7191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 supp ∅) ∈ V
21	8, 13, 14, 15, 16	cantnfcl 9132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ( E We (𝑥 supp ∅) ∧ dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) ∈ ω))
22	21	simpld 497	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → E We (𝑥 supp ∅))
23	15	oien 9004	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 supp ∅) ∈ V ∧ E We (𝑥 supp ∅)) → dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) ≈ (𝑥 supp ∅))
24	20, 22, 23	sylancr 589	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) ≈ (𝑥 supp ∅))
25	24	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) ≈ (𝑥 supp ∅))
26		suppssdm 7845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 supp ∅) ⊆ dom 𝑥
27	8, 5, 6	cantnfs 9131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↔ (𝑥:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝑥 finSupp ∅)))
28	27	simprbda 501	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥:𝐵⟶𝐴)
29	26, 28	fssdm 6532	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 supp ∅) ⊆ 𝐵)
30		feq3 6499	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑥:𝐵⟶𝐴 ↔ 𝑥:𝐵⟶∅))
31	28, 30	syl5ibcom 247	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐴 = ∅ → 𝑥:𝐵⟶∅))
32	31	imp 409	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝑥:𝐵⟶∅)
33		f00 6563	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥:𝐵⟶∅ ↔ (𝑥 = ∅ ∧ 𝐵 = ∅))
34	32, 33	sylib 220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑥 = ∅ ∧ 𝐵 = ∅))
35	34	simprd 498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐵 = ∅)
36		sseq0 4355	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 supp ∅) ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 = ∅) → (𝑥 supp ∅) = ∅)
37	29, 35, 36	syl2an2r 683	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑥 supp ∅) = ∅)
38	25, 37	breqtrd 5094	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) ≈ ∅)
39		en0 8574	. . . . . . . 8 ⊢ (dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) ≈ ∅ ↔ dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) = ∅)
40	38, 39	sylib 220	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) = ∅)
41	40	fveq2d 6676	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝑥‘(OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))) = (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝑥‘(OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘∅))
42		0ex 5213	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
43	17	seqom0g 8094	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∈ V → (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝑥‘(OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘∅) = ∅)
44	42, 43	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝑥‘(OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘∅) = ∅)
45	19, 41, 44	3eqtrd 2862	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) = ∅)
46		el1o 8126	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) ∈ 1o ↔ ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) = ∅)
47	45, 46	sylibr 236	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) ∈ 1o)
48	35	oveq2d 7174	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴 ↑o 𝐵) = (𝐴 ↑o ∅))
49	13	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ∈ On)
50		oe0 8149	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ↑o ∅) = 1o)
51	49, 50	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴 ↑o ∅) = 1o)
52	48, 51	eqtrd 2858	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴 ↑o 𝐵) = 1o)
53	47, 52	eleqtrrd 2918	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) ∈ (𝐴 ↑o 𝐵))
54	13	adantr 483	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ On)
55	14	adantr 483	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐵 ∈ On)
56	16	adantr 483	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝑥 ∈ 𝑆)
57		on0eln0 6248	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
58	13, 57	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
59	58	biimpar 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ∈ 𝐴)
60	29	adantr 483	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑥 supp ∅) ⊆ 𝐵)
61	8, 54, 55, 56, 59, 55, 60	cantnflt2 9138	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) ∈ (𝐴 ↑o 𝐵))
62	53, 61	pm2.61dane 3106	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) ∈ (𝐴 ↑o 𝐵))
63	3, 12, 62	fmpt2d 6889	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 CNF 𝐵):𝑆⟶(𝐴 ↑o 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  {crab 3144  Vcvv 3496  ⦋csb 3885   ⊆ wss 3938  ∅c0 4293   class class class wbr 5068   ↦ cmpt 5148   E cep 5466   We wwe 5515  dom cdm 5557  Oncon0 6193  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158   ∈ cmpo 7160  ωcom 7582   supp csupp 7832  seq_ωcseqom 8085  1_oc1o 8097   +_o coa 8101   ·_o comu 8102   ↑_o coe 8103   ↑_m cmap 8408   ≈ cen 8508   finSupp cfsupp 8835  OrdIsocoi 8975   CNF ccnf 9126

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-supp 7833  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-seqom 8086  df-1o 8104  df-2o 8105  df-oadd 8108  df-omul 8109  df-oexp 8110  df-er 8291  df-map 8410  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-fsupp 8836  df-oi 8976  df-cnf 9127

This theorem is referenced by:  cantnfp1  9146  cantnflem1  9154  cantnflem3  9156  cantnflem4  9157  cantnf  9158