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Theorem cantnfle 8519
Description: A lower bound on the CNF function. Since ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹) is defined as the sum of (𝐴𝑜 𝑥) ·𝑜 (𝐹𝑥) over all 𝑥 in the support of 𝐹, it is larger than any of these terms (and all other terms are zero, so we can extend the statement to all 𝐶𝐵 instead of just those 𝐶 in the support). (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) (Revised by AV, 28-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a (𝜑𝐴 ∈ On)
cantnfs.b (𝜑𝐵 ∈ On)
cantnfcl.g 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
cantnfcl.f (𝜑𝐹𝑆)
cantnfval.h 𝐻 = seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴𝑜 (𝐺𝑘)) ·𝑜 (𝐹‘(𝐺𝑘))) +𝑜 𝑧)), ∅)
cantnfle.c (𝜑𝐶𝐵)
Assertion
Ref Expression
cantnfle (𝜑 → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐵   𝑧,𝐶   𝐴,𝑘,𝑧   𝑘,𝐹,𝑧   𝑆,𝑘,𝑧   𝑘,𝐺,𝑧   𝜑,𝑘,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑘)   𝐻(𝑧,𝑘)

Proof of Theorem cantnfle
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6618 . . 3 ((𝐹𝐶) = ∅ → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) = ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 ∅))
21sseq1d 3616 . 2 ((𝐹𝐶) = ∅ → (((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹) ↔ ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 ∅) ⊆ ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹)))
3 cantnfs.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ On)
4 suppssdm 7260 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 supp ∅) ⊆ dom 𝐹
5 cantnfcl.f . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹𝑆)
6 cantnfs.s . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
7 cantnfs.a . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ On)
86, 7, 3cantnfs 8514 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹𝑆 ↔ (𝐹:𝐵𝐴𝐹 finSupp ∅)))
95, 8mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹:𝐵𝐴𝐹 finSupp ∅))
109simpld 475 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:𝐵𝐴)
11 fdm 6013 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝐵𝐴 → dom 𝐹 = 𝐵)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐵)
134, 12syl5sseq 3637 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ 𝐵)
143, 13ssexd 4770 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ V)
15 cantnfcl.g . . . . . . . . . . 11 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
166, 7, 3, 15, 5cantnfcl 8515 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ( E We (𝐹 supp ∅) ∧ dom 𝐺 ∈ ω))
1716simpld 475 . . . . . . . . 9 (𝜑 → E We (𝐹 supp ∅))
1815oiiso 8393 . . . . . . . . 9 (((𝐹 supp ∅) ∈ V ∧ E We (𝐹 supp ∅)) → 𝐺 Isom E , E (dom 𝐺, (𝐹 supp ∅)))
1914, 17, 18syl2anc 692 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 Isom E , E (dom 𝐺, (𝐹 supp ∅)))
20 isof1o 6533 . . . . . . . 8 (𝐺 Isom E , E (dom 𝐺, (𝐹 supp ∅)) → 𝐺:dom 𝐺1-1-onto→(𝐹 supp ∅))
2119, 20syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐺:dom 𝐺1-1-onto→(𝐹 supp ∅))
2221adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → 𝐺:dom 𝐺1-1-onto→(𝐹 supp ∅))
23 f1ocnv 6111 . . . . . 6 (𝐺:dom 𝐺1-1-onto→(𝐹 supp ∅) → 𝐺:(𝐹 supp ∅)–1-1-onto→dom 𝐺)
24 f1of 6099 . . . . . 6 (𝐺:(𝐹 supp ∅)–1-1-onto→dom 𝐺𝐺:(𝐹 supp ∅)⟶dom 𝐺)
2522, 23, 243syl 18 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → 𝐺:(𝐹 supp ∅)⟶dom 𝐺)
26 cantnfle.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝐵)
2726anim1i 591 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → (𝐶𝐵 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅))
2810adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → 𝐹:𝐵𝐴)
29 ffn 6007 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐵𝐴𝐹 Fn 𝐵)
3028, 29syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → 𝐹 Fn 𝐵)
313adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → 𝐵 ∈ On)
32 0ex 4755 . . . . . . . 8 ∅ ∈ V
3332a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → ∅ ∈ V)
34 elsuppfn 7255 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn 𝐵𝐵 ∈ On ∧ ∅ ∈ V) → (𝐶 ∈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝐶𝐵 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅)))
3530, 31, 33, 34syl3anc 1323 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → (𝐶 ∈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝐶𝐵 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅)))
3627, 35mpbird 247 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → 𝐶 ∈ (𝐹 supp ∅))
3725, 36ffvelrnd 6321 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → (𝐺𝐶) ∈ dom 𝐺)
3816simprd 479 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝐺 ∈ ω)
3938adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → dom 𝐺 ∈ ω)
40 eqimss 3641 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = dom 𝐺𝑥 ⊆ dom 𝐺)
4140biantrurd 529 . . . . . . . . 9 (𝑥 = dom 𝐺 → ((𝐺𝐶) ∈ 𝑥 ↔ (𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑥)))
42 eleq2 2687 . . . . . . . . 9 (𝑥 = dom 𝐺 → ((𝐺𝐶) ∈ 𝑥 ↔ (𝐺𝐶) ∈ dom 𝐺))
4341, 42bitr3d 270 . . . . . . . 8 (𝑥 = dom 𝐺 → ((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑥) ↔ (𝐺𝐶) ∈ dom 𝐺))
44 fveq2 6153 . . . . . . . . 9 (𝑥 = dom 𝐺 → (𝐻𝑥) = (𝐻‘dom 𝐺))
4544sseq2d 3617 . . . . . . . 8 (𝑥 = dom 𝐺 → (((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑥) ↔ ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘dom 𝐺)))
4643, 45imbi12d 334 . . . . . . 7 (𝑥 = dom 𝐺 → (((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑥) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑥)) ↔ ((𝐺𝐶) ∈ dom 𝐺 → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘dom 𝐺))))
4746imbi2d 330 . . . . . 6 (𝑥 = dom 𝐺 → (((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → ((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑥) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑥))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → ((𝐺𝐶) ∈ dom 𝐺 → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘dom 𝐺)))))
48 sseq1 3610 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ∅ → (𝑥 ⊆ dom 𝐺 ↔ ∅ ⊆ dom 𝐺))
49 eleq2 2687 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ∅ → ((𝐺𝐶) ∈ 𝑥 ↔ (𝐺𝐶) ∈ ∅))
5048, 49anbi12d 746 . . . . . . . 8 (𝑥 = ∅ → ((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑥) ↔ (∅ ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ ∅)))
51 fveq2 6153 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ∅ → (𝐻𝑥) = (𝐻‘∅))
5251sseq2d 3617 . . . . . . . 8 (𝑥 = ∅ → (((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑥) ↔ ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘∅)))
5350, 52imbi12d 334 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → (((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑥) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑥)) ↔ ((∅ ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ ∅) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘∅))))
54 sseq1 3610 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ⊆ dom 𝐺𝑦 ⊆ dom 𝐺))
55 eleq2 2687 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐺𝐶) ∈ 𝑥 ↔ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦))
5654, 55anbi12d 746 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑥) ↔ (𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦)))
57 fveq2 6153 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝐻𝑥) = (𝐻𝑦))
5857sseq2d 3617 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑥) ↔ ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)))
5956, 58imbi12d 334 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑥) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑥)) ↔ ((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦))))
60 sseq1 3610 . . . . . . . . 9 (𝑥 = suc 𝑦 → (𝑥 ⊆ dom 𝐺 ↔ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺))
61 eleq2 2687 . . . . . . . . 9 (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝐺𝐶) ∈ 𝑥 ↔ (𝐺𝐶) ∈ suc 𝑦))
6260, 61anbi12d 746 . . . . . . . 8 (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑥) ↔ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ suc 𝑦)))
63 fveq2 6153 . . . . . . . . 9 (𝑥 = suc 𝑦 → (𝐻𝑥) = (𝐻‘suc 𝑦))
6463sseq2d 3617 . . . . . . . 8 (𝑥 = suc 𝑦 → (((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑥) ↔ ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦)))
6562, 64imbi12d 334 . . . . . . 7 (𝑥 = suc 𝑦 → (((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑥) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑥)) ↔ ((suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ suc 𝑦) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))))
66 noel 3900 . . . . . . . . . 10 ¬ (𝐺𝐶) ∈ ∅
6766pm2.21i 116 . . . . . . . . 9 ((𝐺𝐶) ∈ ∅ → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘∅))
6867adantl 482 . . . . . . . 8 ((∅ ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ ∅) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘∅))
6968a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → ((∅ ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ ∅) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘∅)))
70 fvex 6163 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺𝐶) ∈ V
7170elsuc 5758 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺𝐶) ∈ suc 𝑦 ↔ ((𝐺𝐶) ∈ 𝑦 ∨ (𝐺𝐶) = 𝑦))
72 sssucid 5766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦 ⊆ suc 𝑦
73 sstr 3595 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ⊆ suc 𝑦 ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → 𝑦 ⊆ dom 𝐺)
7472, 73mpan 705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺𝑦 ⊆ dom 𝐺)
7574ad2antrl 763 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦)) → 𝑦 ⊆ dom 𝐺)
76 simprr 795 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦)) → (𝐺𝐶) ∈ 𝑦)
77 pm2.27 42 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)))
7875, 76, 77syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦)) → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)))
79 cantnfval.h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝐻 = seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴𝑜 (𝐺𝑘)) ·𝑜 (𝐹‘(𝐺𝑘))) +𝑜 𝑧)), ∅)
8079cantnfvalf 8513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐻:ω⟶On
8180ffvelrni 6319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ω → (𝐻𝑦) ∈ On)
8281ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐻𝑦) ∈ On)
837ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → 𝐴 ∈ On)
843ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → 𝐵 ∈ On)
8513ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐹 supp ∅) ⊆ 𝐵)
86 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺)
87 sucidg 5767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ ω → 𝑦 ∈ suc 𝑦)
8887ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → 𝑦 ∈ suc 𝑦)
8986, 88sseldd 3588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → 𝑦 ∈ dom 𝐺)
9015oif 8386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝐺:dom 𝐺⟶(𝐹 supp ∅)
9190ffvelrni 6319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ dom 𝐺 → (𝐺𝑦) ∈ (𝐹 supp ∅))
9289, 91syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐺𝑦) ∈ (𝐹 supp ∅))
9385, 92sseldd 3588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐺𝑦) ∈ 𝐵)
94 onelon 5712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐵 ∈ On ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝐵) → (𝐺𝑦) ∈ On)
9584, 93, 94syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐺𝑦) ∈ On)
96 oecl 7569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝐺𝑦) ∈ On) → (𝐴𝑜 (𝐺𝑦)) ∈ On)
9783, 95, 96syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐴𝑜 (𝐺𝑦)) ∈ On)
9810ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → 𝐹:𝐵𝐴)
9998, 93ffvelrnd 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐹‘(𝐺𝑦)) ∈ 𝐴)
100 onelon 5712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝐹‘(𝐺𝑦)) ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝐺𝑦)) ∈ On)
10183, 99, 100syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐹‘(𝐺𝑦)) ∈ On)
102 omcl 7568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴𝑜 (𝐺𝑦)) ∈ On ∧ (𝐹‘(𝐺𝑦)) ∈ On) → ((𝐴𝑜 (𝐺𝑦)) ·𝑜 (𝐹‘(𝐺𝑦))) ∈ On)
10397, 101, 102syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → ((𝐴𝑜 (𝐺𝑦)) ·𝑜 (𝐹‘(𝐺𝑦))) ∈ On)
104 oaword2 7585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐻𝑦) ∈ On ∧ ((𝐴𝑜 (𝐺𝑦)) ·𝑜 (𝐹‘(𝐺𝑦))) ∈ On) → (𝐻𝑦) ⊆ (((𝐴𝑜 (𝐺𝑦)) ·𝑜 (𝐹‘(𝐺𝑦))) +𝑜 (𝐻𝑦)))
10582, 103, 104syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐻𝑦) ⊆ (((𝐴𝑜 (𝐺𝑦)) ·𝑜 (𝐹‘(𝐺𝑦))) +𝑜 (𝐻𝑦)))
106 simplll 797 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → 𝜑)
107 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → 𝑦 ∈ ω)
1086, 7, 3, 15, 5, 79cantnfsuc 8518 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 ∈ ω) → (𝐻‘suc 𝑦) = (((𝐴𝑜 (𝐺𝑦)) ·𝑜 (𝐹‘(𝐺𝑦))) +𝑜 (𝐻𝑦)))
109106, 107, 108syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐻‘suc 𝑦) = (((𝐴𝑜 (𝐺𝑦)) ·𝑜 (𝐹‘(𝐺𝑦))) +𝑜 (𝐻𝑦)))
110105, 109sseqtr4d 3626 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐻𝑦) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))
111 sstr 3595 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦) ∧ (𝐻𝑦) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦)) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))
112111expcom 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐻𝑦) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦) → (((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦)))
113110, 112syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦)))
114113adantrr 752 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦)) → (((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦)))
11578, 114syld 47 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦)) → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦)))
116115expr 642 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → ((𝐺𝐶) ∈ 𝑦 → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))))
117 simprr 795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) = 𝑦)) → (𝐺𝐶) = 𝑦)
118117fveq2d 6157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) = 𝑦)) → (𝐺‘(𝐺𝐶)) = (𝐺𝑦))
119 f1ocnvfv2 6493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐺:dom 𝐺1-1-onto→(𝐹 supp ∅) ∧ 𝐶 ∈ (𝐹 supp ∅)) → (𝐺‘(𝐺𝐶)) = 𝐶)
12022, 36, 119syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → (𝐺‘(𝐺𝐶)) = 𝐶)
121120ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) = 𝑦)) → (𝐺‘(𝐺𝐶)) = 𝐶)
122118, 121eqtr3d 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) = 𝑦)) → (𝐺𝑦) = 𝐶)
123122oveq2d 6626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) = 𝑦)) → (𝐴𝑜 (𝐺𝑦)) = (𝐴𝑜 𝐶))
124122fveq2d 6157 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) = 𝑦)) → (𝐹‘(𝐺𝑦)) = (𝐹𝐶))
125123, 124oveq12d 6628 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) = 𝑦)) → ((𝐴𝑜 (𝐺𝑦)) ·𝑜 (𝐹‘(𝐺𝑦))) = ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)))
126 oaword1 7584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴𝑜 (𝐺𝑦)) ·𝑜 (𝐹‘(𝐺𝑦))) ∈ On ∧ (𝐻𝑦) ∈ On) → ((𝐴𝑜 (𝐺𝑦)) ·𝑜 (𝐹‘(𝐺𝑦))) ⊆ (((𝐴𝑜 (𝐺𝑦)) ·𝑜 (𝐹‘(𝐺𝑦))) +𝑜 (𝐻𝑦)))
127103, 82, 126syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → ((𝐴𝑜 (𝐺𝑦)) ·𝑜 (𝐹‘(𝐺𝑦))) ⊆ (((𝐴𝑜 (𝐺𝑦)) ·𝑜 (𝐹‘(𝐺𝑦))) +𝑜 (𝐻𝑦)))
128127adantrr 752 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) = 𝑦)) → ((𝐴𝑜 (𝐺𝑦)) ·𝑜 (𝐹‘(𝐺𝑦))) ⊆ (((𝐴𝑜 (𝐺𝑦)) ·𝑜 (𝐹‘(𝐺𝑦))) +𝑜 (𝐻𝑦)))
129125, 128eqsstr3d 3624 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) = 𝑦)) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (((𝐴𝑜 (𝐺𝑦)) ·𝑜 (𝐹‘(𝐺𝑦))) +𝑜 (𝐻𝑦)))
130109adantrr 752 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) = 𝑦)) → (𝐻‘suc 𝑦) = (((𝐴𝑜 (𝐺𝑦)) ·𝑜 (𝐹‘(𝐺𝑦))) +𝑜 (𝐻𝑦)))
131129, 130sseqtr4d 3626 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) = 𝑦)) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))
132131expr 642 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → ((𝐺𝐶) = 𝑦 → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦)))
133132a1dd 50 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → ((𝐺𝐶) = 𝑦 → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))))
134116, 133jaod 395 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (((𝐺𝐶) ∈ 𝑦 ∨ (𝐺𝐶) = 𝑦) → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))))
13571, 134syl5bi 232 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → ((𝐺𝐶) ∈ suc 𝑦 → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))))
136135expimpd 628 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ suc 𝑦) → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))))
137136com23 86 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)) → ((suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ suc 𝑦) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))))
138137expcom 451 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ω → ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)) → ((suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ suc 𝑦) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦)))))
13953, 59, 65, 69, 138finds2 7048 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ω → ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → ((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑥) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑥))))
14047, 139vtoclga 3261 . . . . 5 (dom 𝐺 ∈ ω → ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → ((𝐺𝐶) ∈ dom 𝐺 → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘dom 𝐺))))
14139, 140mpcom 38 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → ((𝐺𝐶) ∈ dom 𝐺 → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘dom 𝐺)))
14237, 141mpd 15 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘dom 𝐺))
1436, 7, 3, 15, 5, 79cantnfval 8516 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹) = (𝐻‘dom 𝐺))
144143adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹) = (𝐻‘dom 𝐺))
145142, 144sseqtr4d 3626 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹))
146 onelon 5712 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶𝐵) → 𝐶 ∈ On)
1473, 26, 146syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ On)
148 oecl 7569 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴𝑜 𝐶) ∈ On)
1497, 147, 148syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝑜 𝐶) ∈ On)
150 om0 7549 . . . 4 ((𝐴𝑜 𝐶) ∈ On → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 ∅) = ∅)
151149, 150syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 ∅) = ∅)
152 0ss 3949 . . 3 ∅ ⊆ ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹)
153151, 152syl6eqss 3639 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 ∅) ⊆ ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹))
1542, 145, 153pm2.61ne 2875 1 (𝜑 → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  Vcvv 3189  wss 3559  c0 3896   class class class wbr 4618   E cep 4988   We wwe 5037  ccnv 5078  dom cdm 5079  Oncon0 5687  suc csuc 5689   Fn wfn 5847  wf 5848  1-1-ontowf1o 5851  cfv 5852   Isom wiso 5853  (class class class)co 6610  cmpt2 6612  ωcom 7019   supp csupp 7247  seq𝜔cseqom 7494   +𝑜 coa 7509   ·𝑜 comu 7510  𝑜 coe 7511   finSupp cfsupp 8226  OrdIsocoi 8365   CNF ccnf 8509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-seqom 7495  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-omul 7517  df-oexp 7518  df-er 7694  df-map 7811  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-fsupp 8227  df-oi 8366  df-cnf 8510
This theorem is referenced by:  cantnflem3  8539
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