Theorem cantnflem1a 8620

Description: Lemma for cantnf 8628. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2015.) (Revised by AV, 2-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfs.s	⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
cantnfs.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
oemapval.t	⊢ 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥‘𝑧) ∈ (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}
oemapval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)
oemapval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑆)
oemapvali.r	⊢ (𝜑 → 𝐹𝑇𝐺)
oemapvali.x	⊢ 𝑋 = ∪ {𝑐 ∈ 𝐵 ∣ (𝐹‘𝑐) ∈ (𝐺‘𝑐)}

Assertion

Ref	Expression
cantnflem1a	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐺 supp ∅))

Distinct variable groups:   𝑤,𝑐,𝑥,𝑦,𝑧,𝐵   𝐴,𝑐,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑇,𝑐   𝑤,𝐹,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑐,𝑥,𝑦,𝑧   𝐺,𝑐,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧   𝐹,𝑐   𝜑,𝑐

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤)   𝑆(𝑤)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑋(𝑐)

Proof of Theorem cantnflem1a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cantnfs.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
2		cantnfs.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
3		cantnfs.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
4		oemapval.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥‘𝑧) ∈ (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}
5		oemapval.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)
6		oemapval.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑆)
7		oemapvali.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹𝑇𝐺)
8		oemapvali.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ {𝑐 ∈ 𝐵 ∣ (𝐹‘𝑐) ∈ (𝐺‘𝑐)}
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	oemapvali 8619	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ (𝐺‘𝑋) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑋 ∈ 𝑤 → (𝐹‘𝑤) = (𝐺‘𝑤))))
10	9	simp1d 1093	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	9	simp2d 1094	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ (𝐺‘𝑋))
12		ne0i 3954	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝑋) ∈ (𝐺‘𝑋) → (𝐺‘𝑋) ≠ ∅)
13	11, 12	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ≠ ∅)
14	1, 2, 3	cantnfs 8601	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝑆 ↔ (𝐺:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐺 finSupp ∅)))
15	6, 14	mpbid 222	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐺 finSupp ∅))
16	15	simpld 474	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵⟶𝐴)
17		ffn 6083	. . . 4 ⊢ (𝐺:𝐵⟶𝐴 → 𝐺 Fn 𝐵)
18	16, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐵)
19		0ex 4823	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
20	19	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ V)
21		elsuppfn 7348	. . 3 ⊢ ((𝐺 Fn 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ ∅ ∈ V) → (𝑋 ∈ (𝐺 supp ∅) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ ∅)))
22	18, 3, 20, 21	syl3anc 1366	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐺 supp ∅) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ ∅)))
23	10, 13, 22	mpbir2and 977	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐺 supp ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∀wral 2941  ∃wrex 2942  {crab 2945  Vcvv 3231  ∅c0 3948  ∪ cuni 4468   class class class wbr 4685  {copab 4745  dom cdm 5143  Oncon0 5761   Fn wfn 5921  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   supp csupp 7340   finSupp cfsupp 8316   CNF ccnf 8596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-seqom 7588  df-1o 7605  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-cnf 8597

This theorem is referenced by:  cantnflem1b  8621  cantnflem1d  8623  cantnflem1  8624