MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnfp1lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cantnfp1lem1 8519
Description: Lemma for cantnfp1 8522. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.) (Revised by AV, 30-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a (𝜑𝐴 ∈ On)
cantnfs.b (𝜑𝐵 ∈ On)
cantnfp1.g (𝜑𝐺𝑆)
cantnfp1.x (𝜑𝑋𝐵)
cantnfp1.y (𝜑𝑌𝐴)
cantnfp1.s (𝜑 → (𝐺 supp ∅) ⊆ 𝑋)
cantnfp1.f 𝐹 = (𝑡𝐵 ↦ if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑡)))
Assertion
Ref Expression
cantnfp1lem1 (𝜑𝐹𝑆)
Distinct variable groups:   𝑡,𝐵   𝑡,𝐴   𝑡,𝑆   𝑡,𝐺   𝜑,𝑡   𝑡,𝑌   𝑡,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑡)

Proof of Theorem cantnfp1lem1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfp1.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝐴)
21adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑡𝐵) → 𝑌𝐴)
3 cantnfp1.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺𝑆)
4 cantnfs.s . . . . . . . 8 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
5 cantnfs.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ On)
6 cantnfs.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ On)
74, 5, 6cantnfs 8507 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺𝑆 ↔ (𝐺:𝐵𝐴𝐺 finSupp ∅)))
83, 7mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺:𝐵𝐴𝐺 finSupp ∅))
98simpld 475 . . . . 5 (𝜑𝐺:𝐵𝐴)
109ffvelrnda 6315 . . . 4 ((𝜑𝑡𝐵) → (𝐺𝑡) ∈ 𝐴)
112, 10ifcld 4103 . . 3 ((𝜑𝑡𝐵) → if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑡)) ∈ 𝐴)
12 cantnfp1.f . . 3 𝐹 = (𝑡𝐵 ↦ if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑡)))
1311, 12fmptd 6340 . 2 (𝜑𝐹:𝐵𝐴)
148simprd 479 . . . . . 6 (𝜑𝐺 finSupp ∅)
1514fsuppimpd 8226 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 supp ∅) ∈ Fin)
16 snfi 7982 . . . . 5 {𝑋} ∈ Fin
17 unfi 8171 . . . . 5 (((𝐺 supp ∅) ∈ Fin ∧ {𝑋} ∈ Fin) → ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}) ∈ Fin)
1815, 16, 17sylancl 693 . . . 4 (𝜑 → ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}) ∈ Fin)
19 eldifi 3710 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋})) → 𝑘𝐵)
2019adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → 𝑘𝐵)
211adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → 𝑌𝐴)
22 fvex 6158 . . . . . . . 8 (𝐺𝑘) ∈ V
23 ifexg 4129 . . . . . . . 8 ((𝑌𝐴 ∧ (𝐺𝑘) ∈ V) → if(𝑘 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑘)) ∈ V)
2421, 22, 23sylancl 693 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → if(𝑘 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑘)) ∈ V)
25 eqeq1 2625 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝑘 → (𝑡 = 𝑋𝑘 = 𝑋))
26 fveq2 6148 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝑘 → (𝐺𝑡) = (𝐺𝑘))
2725, 26ifbieq2d 4083 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑘 → if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑡)) = if(𝑘 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑘)))
2827, 12fvmptg 6237 . . . . . . 7 ((𝑘𝐵 ∧ if(𝑘 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑘)) ∈ V) → (𝐹𝑘) = if(𝑘 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑘)))
2920, 24, 28syl2anc 692 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → (𝐹𝑘) = if(𝑘 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑘)))
30 eldifn 3711 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋})) → ¬ 𝑘 ∈ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))
3130adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → ¬ 𝑘 ∈ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))
32 velsn 4164 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ {𝑋} ↔ 𝑘 = 𝑋)
33 elun2 3759 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ {𝑋} → 𝑘 ∈ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))
3432, 33sylbir 225 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑋𝑘 ∈ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))
3531, 34nsyl 135 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → ¬ 𝑘 = 𝑋)
3635iffalsed 4069 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → if(𝑘 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑘)) = (𝐺𝑘))
37 ssun1 3754 . . . . . . . . 9 (𝐺 supp ∅) ⊆ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋})
38 sscon 3722 . . . . . . . . 9 ((𝐺 supp ∅) ⊆ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}) → (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋})) ⊆ (𝐵 ∖ (𝐺 supp ∅)))
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋})) ⊆ (𝐵 ∖ (𝐺 supp ∅))
4039sseli 3579 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋})) → 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ (𝐺 supp ∅)))
41 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (𝐺 supp ∅) = (𝐺 supp ∅)
42 eqimss2 3637 . . . . . . . . 9 ((𝐺 supp ∅) = (𝐺 supp ∅) → (𝐺 supp ∅) ⊆ (𝐺 supp ∅))
4341, 42mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 supp ∅) ⊆ (𝐺 supp ∅))
44 0ex 4750 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ V
4544a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∅ ∈ V)
469, 43, 6, 45suppssr 7271 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ (𝐺 supp ∅))) → (𝐺𝑘) = ∅)
4740, 46sylan2 491 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → (𝐺𝑘) = ∅)
4829, 36, 473eqtrd 2659 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → (𝐹𝑘) = ∅)
4913, 48suppss 7270 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))
50 ssfi 8124 . . . 4 ((((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}) ∈ Fin ∧ (𝐹 supp ∅) ⊆ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋})) → (𝐹 supp ∅) ∈ Fin)
5118, 49, 50syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ Fin)
5212funmpt2 5885 . . . . 5 Fun 𝐹
5352a1i 11 . . . 4 (𝜑 → Fun 𝐹)
54 mptexg 6438 . . . . . 6 (𝐵 ∈ On → (𝑡𝐵 ↦ if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑡))) ∈ V)
5512, 54syl5eqel 2702 . . . . 5 (𝐵 ∈ On → 𝐹 ∈ V)
566, 55syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ V)
57 funisfsupp 8224 . . . 4 ((Fun 𝐹𝐹 ∈ V ∧ ∅ ∈ V) → (𝐹 finSupp ∅ ↔ (𝐹 supp ∅) ∈ Fin))
5853, 56, 45, 57syl3anc 1323 . . 3 (𝜑 → (𝐹 finSupp ∅ ↔ (𝐹 supp ∅) ∈ Fin))
5951, 58mpbird 247 . 2 (𝜑𝐹 finSupp ∅)
604, 5, 6cantnfs 8507 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑆 ↔ (𝐹:𝐵𝐴𝐹 finSupp ∅)))
6113, 59, 60mpbir2and 956 1 (𝜑𝐹𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3186  cdif 3552  cun 3553  wss 3555  c0 3891  ifcif 4058  {csn 4148   class class class wbr 4613  cmpt 4673  dom cdm 5074  Oncon0 5682  Fun wfun 5841  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604   supp csupp 7240  Fincfn 7899   finSupp cfsupp 8219   CNF ccnf 8502
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-seqom 7488  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-cnf 8503
This theorem is referenced by:  cantnfp1lem2  8520  cantnfp1lem3  8521  cantnfp1  8522
  Copyright terms: Public domain W3C validator