MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnfp1lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cantnfp1lem2 8749
Description: Lemma for cantnfp1 8751. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) (Revised by AV, 30-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a (𝜑𝐴 ∈ On)
cantnfs.b (𝜑𝐵 ∈ On)
cantnfp1.g (𝜑𝐺𝑆)
cantnfp1.x (𝜑𝑋𝐵)
cantnfp1.y (𝜑𝑌𝐴)
cantnfp1.s (𝜑 → (𝐺 supp ∅) ⊆ 𝑋)
cantnfp1.f 𝐹 = (𝑡𝐵 ↦ if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑡)))
cantnfp1.e (𝜑 → ∅ ∈ 𝑌)
cantnfp1.o 𝑂 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
Assertion
Ref Expression
cantnfp1lem2 (𝜑 → dom 𝑂 = suc dom 𝑂)
Distinct variable groups:   𝑡,𝐵   𝑡,𝐴   𝑡,𝑆   𝑡,𝐺   𝜑,𝑡   𝑡,𝑌   𝑡,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑡)   𝑂(𝑡)

Proof of Theorem cantnfp1lem2
StepHypRef Expression
1 cantnfp1.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝐵)
2 cantnfp1.y . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌𝐴)
3 iftrue 4236 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 𝑋 → if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑡)) = 𝑌)
4 cantnfp1.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑡𝐵 ↦ if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑡)))
53, 4fvmptg 6442 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝐵𝑌𝐴) → (𝐹𝑋) = 𝑌)
61, 2, 5syl2anc 696 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑋) = 𝑌)
7 cantnfp1.e . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∅ ∈ 𝑌)
8 cantnfs.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ On)
9 onelon 5909 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑌𝐴) → 𝑌 ∈ On)
108, 2, 9syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 ∈ On)
11 on0eln0 5941 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ On → (∅ ∈ 𝑌𝑌 ≠ ∅))
1210, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∅ ∈ 𝑌𝑌 ≠ ∅))
137, 12mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ≠ ∅)
146, 13eqnetrd 2999 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝑋) ≠ ∅)
152adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡𝐵) → 𝑌𝐴)
16 cantnfp1.g . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐺𝑆)
17 cantnfs.s . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
18 cantnfs.b . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ On)
1917, 8, 18cantnfs 8736 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐺𝑆 ↔ (𝐺:𝐵𝐴𝐺 finSupp ∅)))
2016, 19mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐺:𝐵𝐴𝐺 finSupp ∅))
2120simpld 477 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺:𝐵𝐴)
2221ffvelrnda 6522 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡𝐵) → (𝐺𝑡) ∈ 𝐴)
2315, 22ifcld 4275 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡𝐵) → if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑡)) ∈ 𝐴)
2423, 4fmptd 6548 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝐵𝐴)
25 ffn 6206 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐵𝐴𝐹 Fn 𝐵)
2624, 25syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 Fn 𝐵)
27 0ex 4942 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ V
2827a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∅ ∈ V)
29 elsuppfn 7471 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn 𝐵𝐵 ∈ On ∧ ∅ ∈ V) → (𝑋 ∈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝐹𝑋) ≠ ∅)))
3026, 18, 28, 29syl3anc 1477 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝐹𝑋) ≠ ∅)))
311, 14, 30mpbir2and 995 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ (𝐹 supp ∅))
32 n0i 4063 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (𝐹 supp ∅) → ¬ (𝐹 supp ∅) = ∅)
3331, 32syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ¬ (𝐹 supp ∅) = ∅)
34 suppssdm 7476 . . . . . . . . 9 (𝐹 supp ∅) ⊆ dom 𝐹
354, 23dmmptd 6185 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐵)
3634, 35syl5sseq 3794 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ 𝐵)
3718, 36ssexd 4957 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ V)
38 cantnfp1.o . . . . . . . . 9 𝑂 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
39 cantnfp1.s . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺 supp ∅) ⊆ 𝑋)
4017, 8, 18, 16, 1, 2, 39, 4cantnfp1lem1 8748 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹𝑆)
4117, 8, 18, 38, 40cantnfcl 8737 . . . . . . . 8 (𝜑 → ( E We (𝐹 supp ∅) ∧ dom 𝑂 ∈ ω))
4241simpld 477 . . . . . . 7 (𝜑 → E We (𝐹 supp ∅))
4338oien 8608 . . . . . . 7 (((𝐹 supp ∅) ∈ V ∧ E We (𝐹 supp ∅)) → dom 𝑂 ≈ (𝐹 supp ∅))
4437, 42, 43syl2anc 696 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝑂 ≈ (𝐹 supp ∅))
45 breq1 4807 . . . . . . 7 (dom 𝑂 = ∅ → (dom 𝑂 ≈ (𝐹 supp ∅) ↔ ∅ ≈ (𝐹 supp ∅)))
46 ensymb 8169 . . . . . . . 8 (∅ ≈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝐹 supp ∅) ≈ ∅)
47 en0 8184 . . . . . . . 8 ((𝐹 supp ∅) ≈ ∅ ↔ (𝐹 supp ∅) = ∅)
4846, 47bitri 264 . . . . . . 7 (∅ ≈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝐹 supp ∅) = ∅)
4945, 48syl6bb 276 . . . . . 6 (dom 𝑂 = ∅ → (dom 𝑂 ≈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝐹 supp ∅) = ∅))
5044, 49syl5ibcom 235 . . . . 5 (𝜑 → (dom 𝑂 = ∅ → (𝐹 supp ∅) = ∅))
5133, 50mtod 189 . . . 4 (𝜑 → ¬ dom 𝑂 = ∅)
5241simprd 482 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝑂 ∈ ω)
53 nnlim 7243 . . . . 5 (dom 𝑂 ∈ ω → ¬ Lim dom 𝑂)
5452, 53syl 17 . . . 4 (𝜑 → ¬ Lim dom 𝑂)
55 ioran 512 . . . 4 (¬ (dom 𝑂 = ∅ ∨ Lim dom 𝑂) ↔ (¬ dom 𝑂 = ∅ ∧ ¬ Lim dom 𝑂))
5651, 54, 55sylanbrc 701 . . 3 (𝜑 → ¬ (dom 𝑂 = ∅ ∨ Lim dom 𝑂))
57 nnord 7238 . . . 4 (dom 𝑂 ∈ ω → Ord dom 𝑂)
58 unizlim 6005 . . . 4 (Ord dom 𝑂 → (dom 𝑂 = dom 𝑂 ↔ (dom 𝑂 = ∅ ∨ Lim dom 𝑂)))
5952, 57, 583syl 18 . . 3 (𝜑 → (dom 𝑂 = dom 𝑂 ↔ (dom 𝑂 = ∅ ∨ Lim dom 𝑂)))
6056, 59mtbird 314 . 2 (𝜑 → ¬ dom 𝑂 = dom 𝑂)
61 orduniorsuc 7195 . . . 4 (Ord dom 𝑂 → (dom 𝑂 = dom 𝑂 ∨ dom 𝑂 = suc dom 𝑂))
6252, 57, 613syl 18 . . 3 (𝜑 → (dom 𝑂 = dom 𝑂 ∨ dom 𝑂 = suc dom 𝑂))
6362ord 391 . 2 (𝜑 → (¬ dom 𝑂 = dom 𝑂 → dom 𝑂 = suc dom 𝑂))
6460, 63mpd 15 1 (𝜑 → dom 𝑂 = suc dom 𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  Vcvv 3340  wss 3715  c0 4058  ifcif 4230   cuni 4588   class class class wbr 4804  cmpt 4881   E cep 5178   We wwe 5224  dom cdm 5266  Ord word 5883  Oncon0 5884  Lim wlim 5885  suc csuc 5886   Fn wfn 6044  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  ωcom 7230   supp csupp 7463  cen 8118   finSupp cfsupp 8440  OrdIsocoi 8579   CNF ccnf 8731
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-seqom 7712  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-oi 8580  df-cnf 8732
This theorem is referenced by:  cantnfp1lem3  8750
  Copyright terms: Public domain W3C validator