Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnfp1lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cantnfp1lem2 8520
 Description: Lemma for cantnfp1 8522. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) (Revised by AV, 30-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a (𝜑𝐴 ∈ On)
cantnfs.b (𝜑𝐵 ∈ On)
cantnfp1.g (𝜑𝐺𝑆)
cantnfp1.x (𝜑𝑋𝐵)
cantnfp1.y (𝜑𝑌𝐴)
cantnfp1.s (𝜑 → (𝐺 supp ∅) ⊆ 𝑋)
cantnfp1.f 𝐹 = (𝑡𝐵 ↦ if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑡)))
cantnfp1.e (𝜑 → ∅ ∈ 𝑌)
cantnfp1.o 𝑂 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
Assertion
Ref Expression
cantnfp1lem2 (𝜑 → dom 𝑂 = suc dom 𝑂)
Distinct variable groups:   𝑡,𝐵   𝑡,𝐴   𝑡,𝑆   𝑡,𝐺   𝜑,𝑡   𝑡,𝑌   𝑡,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑡)   𝑂(𝑡)

Proof of Theorem cantnfp1lem2
StepHypRef Expression
1 cantnfp1.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝐵)
2 cantnfp1.y . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌𝐴)
3 iftrue 4064 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 𝑋 → if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑡)) = 𝑌)
4 cantnfp1.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑡𝐵 ↦ if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑡)))
53, 4fvmptg 6237 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝐵𝑌𝐴) → (𝐹𝑋) = 𝑌)
61, 2, 5syl2anc 692 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑋) = 𝑌)
7 cantnfp1.e . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∅ ∈ 𝑌)
8 cantnfs.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ On)
9 onelon 5707 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑌𝐴) → 𝑌 ∈ On)
108, 2, 9syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 ∈ On)
11 on0eln0 5739 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ On → (∅ ∈ 𝑌𝑌 ≠ ∅))
1210, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∅ ∈ 𝑌𝑌 ≠ ∅))
137, 12mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ≠ ∅)
146, 13eqnetrd 2857 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝑋) ≠ ∅)
152adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡𝐵) → 𝑌𝐴)
16 cantnfp1.g . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐺𝑆)
17 cantnfs.s . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
18 cantnfs.b . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ On)
1917, 8, 18cantnfs 8507 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐺𝑆 ↔ (𝐺:𝐵𝐴𝐺 finSupp ∅)))
2016, 19mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐺:𝐵𝐴𝐺 finSupp ∅))
2120simpld 475 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺:𝐵𝐴)
2221ffvelrnda 6315 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡𝐵) → (𝐺𝑡) ∈ 𝐴)
2315, 22ifcld 4103 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡𝐵) → if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑡)) ∈ 𝐴)
2423, 4fmptd 6340 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝐵𝐴)
25 ffn 6002 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐵𝐴𝐹 Fn 𝐵)
2624, 25syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 Fn 𝐵)
27 0ex 4750 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ V
2827a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∅ ∈ V)
29 elsuppfn 7248 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn 𝐵𝐵 ∈ On ∧ ∅ ∈ V) → (𝑋 ∈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝐹𝑋) ≠ ∅)))
3026, 18, 28, 29syl3anc 1323 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝐹𝑋) ≠ ∅)))
311, 14, 30mpbir2and 956 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ (𝐹 supp ∅))
32 n0i 3896 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (𝐹 supp ∅) → ¬ (𝐹 supp ∅) = ∅)
3331, 32syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ¬ (𝐹 supp ∅) = ∅)
34 suppssdm 7253 . . . . . . . . 9 (𝐹 supp ∅) ⊆ dom 𝐹
354, 23dmmptd 5981 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐵)
3634, 35syl5sseq 3632 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ 𝐵)
3718, 36ssexd 4765 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ V)
38 cantnfp1.o . . . . . . . . 9 𝑂 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
39 cantnfp1.s . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺 supp ∅) ⊆ 𝑋)
4017, 8, 18, 16, 1, 2, 39, 4cantnfp1lem1 8519 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹𝑆)
4117, 8, 18, 38, 40cantnfcl 8508 . . . . . . . 8 (𝜑 → ( E We (𝐹 supp ∅) ∧ dom 𝑂 ∈ ω))
4241simpld 475 . . . . . . 7 (𝜑 → E We (𝐹 supp ∅))
4338oien 8387 . . . . . . 7 (((𝐹 supp ∅) ∈ V ∧ E We (𝐹 supp ∅)) → dom 𝑂 ≈ (𝐹 supp ∅))
4437, 42, 43syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝑂 ≈ (𝐹 supp ∅))
45 breq1 4616 . . . . . . 7 (dom 𝑂 = ∅ → (dom 𝑂 ≈ (𝐹 supp ∅) ↔ ∅ ≈ (𝐹 supp ∅)))
46 ensymb 7948 . . . . . . . 8 (∅ ≈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝐹 supp ∅) ≈ ∅)
47 en0 7963 . . . . . . . 8 ((𝐹 supp ∅) ≈ ∅ ↔ (𝐹 supp ∅) = ∅)
4846, 47bitri 264 . . . . . . 7 (∅ ≈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝐹 supp ∅) = ∅)
4945, 48syl6bb 276 . . . . . 6 (dom 𝑂 = ∅ → (dom 𝑂 ≈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝐹 supp ∅) = ∅))
5044, 49syl5ibcom 235 . . . . 5 (𝜑 → (dom 𝑂 = ∅ → (𝐹 supp ∅) = ∅))
5133, 50mtod 189 . . . 4 (𝜑 → ¬ dom 𝑂 = ∅)
5241simprd 479 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝑂 ∈ ω)
53 nnlim 7025 . . . . 5 (dom 𝑂 ∈ ω → ¬ Lim dom 𝑂)
5452, 53syl 17 . . . 4 (𝜑 → ¬ Lim dom 𝑂)
55 ioran 511 . . . 4 (¬ (dom 𝑂 = ∅ ∨ Lim dom 𝑂) ↔ (¬ dom 𝑂 = ∅ ∧ ¬ Lim dom 𝑂))
5651, 54, 55sylanbrc 697 . . 3 (𝜑 → ¬ (dom 𝑂 = ∅ ∨ Lim dom 𝑂))
57 nnord 7020 . . . 4 (dom 𝑂 ∈ ω → Ord dom 𝑂)
58 unizlim 5803 . . . 4 (Ord dom 𝑂 → (dom 𝑂 = dom 𝑂 ↔ (dom 𝑂 = ∅ ∨ Lim dom 𝑂)))
5952, 57, 583syl 18 . . 3 (𝜑 → (dom 𝑂 = dom 𝑂 ↔ (dom 𝑂 = ∅ ∨ Lim dom 𝑂)))
6056, 59mtbird 315 . 2 (𝜑 → ¬ dom 𝑂 = dom 𝑂)
61 orduniorsuc 6977 . . . 4 (Ord dom 𝑂 → (dom 𝑂 = dom 𝑂 ∨ dom 𝑂 = suc dom 𝑂))
6252, 57, 613syl 18 . . 3 (𝜑 → (dom 𝑂 = dom 𝑂 ∨ dom 𝑂 = suc dom 𝑂))
6362ord 392 . 2 (𝜑 → (¬ dom 𝑂 = dom 𝑂 → dom 𝑂 = suc dom 𝑂))
6460, 63mpd 15 1 (𝜑 → dom 𝑂 = suc dom 𝑂)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  Vcvv 3186   ⊆ wss 3555  ∅c0 3891  ifcif 4058  ∪ cuni 4402   class class class wbr 4613   ↦ cmpt 4673   E cep 4983   We wwe 5032  dom cdm 5074  Ord word 5681  Oncon0 5682  Lim wlim 5683  suc csuc 5684   Fn wfn 5842  ⟶wf 5843  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  ωcom 7012   supp csupp 7240   ≈ cen 7896   finSupp cfsupp 8219  OrdIsocoi 8358   CNF ccnf 8502 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-seqom 7488  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-oi 8359  df-cnf 8503 This theorem is referenced by:  cantnfp1lem3  8521
 Copyright terms: Public domain W3C validator