Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  caragenel2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caragenel2d 40053
Description: Membership in the Caratheodory's construction. Similar to carageneld 40023, but here "less then or equal" is used, instead of equality. This is Remark 113D of [Fremlin1] p. 21. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caragenel2d.o (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
caragenel2d.x 𝑋 = dom 𝑂
caragenel2d.s 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
caragenel2d.e (𝜑𝐸 ∈ 𝒫 𝑋)
caragenel2d.a ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑂‘(𝑎𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝐸))) ≤ (𝑂𝑎))
Assertion
Ref Expression
caragenel2d (𝜑𝐸𝑆)
Distinct variable groups:   𝐸,𝑎   𝑂,𝑎   𝜑,𝑎
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑎)   𝑋(𝑎)

Proof of Theorem caragenel2d
StepHypRef Expression
1 caragenel2d.o . 2 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
2 caragenel2d.x . 2 𝑋 = dom 𝑂
3 caragenel2d.s . 2 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
4 caragenel2d.e . 2 (𝜑𝐸 ∈ 𝒫 𝑋)
51adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑂 ∈ OutMeas)
6 inss1 3811 . . . . . . 7 (𝑎𝐸) ⊆ 𝑎
7 elpwi 4140 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋𝑎𝑋)
86, 7syl5ss 3594 . . . . . 6 (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑎𝐸) ⊆ 𝑋)
98adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑎𝐸) ⊆ 𝑋)
105, 2, 9omexrcl 40028 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘(𝑎𝐸)) ∈ ℝ*)
117ssdifssd 3726 . . . . . 6 (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑎𝐸) ⊆ 𝑋)
1211adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑎𝐸) ⊆ 𝑋)
135, 2, 12omexrcl 40028 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘(𝑎𝐸)) ∈ ℝ*)
14 xaddcl 12013 . . . 4 (((𝑂‘(𝑎𝐸)) ∈ ℝ* ∧ (𝑂‘(𝑎𝐸)) ∈ ℝ*) → ((𝑂‘(𝑎𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝐸))) ∈ ℝ*)
1510, 13, 14syl2anc 692 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑂‘(𝑎𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝐸))) ∈ ℝ*)
167adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑎𝑋)
175, 2, 16omexrcl 40028 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂𝑎) ∈ ℝ*)
18 caragenel2d.a . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑂‘(𝑎𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝐸))) ≤ (𝑂𝑎))
195, 2, 16omelesplit 40039 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂𝑎) ≤ ((𝑂‘(𝑎𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝐸))))
2015, 17, 18, 19xrletrid 11930 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑂‘(𝑎𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝐸))) = (𝑂𝑎))
211, 2, 3, 4, 20carageneld 40023 1 (𝜑𝐸𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  cdif 3552  cin 3554  wss 3555  𝒫 cpw 4130   cuni 4402   class class class wbr 4613  dom cdm 5074  cfv 5847  (class class class)co 6604  *cxr 10017  cle 10019   +𝑒 cxad 11888  OutMeascome 40010  CaraGenccaragen 40012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-xadd 11891  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-sum 14351  df-sumge0 39887  df-ome 40011  df-caragen 40013
This theorem is referenced by:  caragencmpl  40056  hspmbl  40150
  Copyright terms: Public domain W3C validator