Theorem carageniuncl 42812

Description: The Caratheodory's construction is closed under indexed countable union. Step (d) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 20. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
carageniuncl.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
carageniuncl.s	⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
carageniuncl.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
carageniuncl.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
carageniuncl.e	⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑍⟶𝑆)

Assertion

Ref	Expression
carageniuncl	⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑛,𝐸   𝑛,𝑀   𝑛,𝑂   𝑛,𝑍   𝜑,𝑛

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem carageniuncl

Dummy variables 𝑎 𝑖 𝑥 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		carageniuncl.o	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
2		eqid 2823	. 2 ⊢ ∪ dom 𝑂 = ∪ dom 𝑂
3		carageniuncl.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
4		carageniuncl.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑍⟶𝑆)
5	4	ffvelrnda 6853	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑛) ∈ 𝑆)
6		elssuni 4870	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸‘𝑛) ∈ 𝑆 → (𝐸‘𝑛) ⊆ ∪ 𝑆)
7	5, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑛) ⊆ ∪ 𝑆)
8	1, 3	caragenuni 42800	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 = ∪ dom 𝑂)
9	8	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ∪ 𝑆 = ∪ dom 𝑂)
10	7, 9	sseqtrd 4009	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑛) ⊆ ∪ dom 𝑂)
11	10	ralrimiva 3184	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ⊆ ∪ dom 𝑂)
12		iunss 4971	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ⊆ ∪ dom 𝑂 ↔ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ⊆ ∪ dom 𝑂)
13	11, 12	sylibr 236	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ⊆ ∪ dom 𝑂)
14		carageniuncl.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
15	14	fvexi 6686	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ∈ V
16		fvex 6685	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘𝑛) ∈ V
17	15, 16	iunex 7671	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ∈ V
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ∈ V)
19		elpwg 4544	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ∈ V → (∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂 ↔ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ⊆ ∪ dom 𝑂))
20	18, 19	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂 ↔ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ⊆ ∪ dom 𝑂))
21	13, 20	mpbird 259	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂)
22		iccssxr 12822	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
23	1	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → 𝑂 ∈ OutMeas)
24		elpwi 4550	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂 → 𝑎 ⊆ ∪ dom 𝑂)
25		ssinss1 4216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ⊆ ∪ dom 𝑂 → (𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ⊆ ∪ dom 𝑂)
26	24, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂 → (𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ⊆ ∪ dom 𝑂)
27	26	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → (𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ⊆ ∪ dom 𝑂)
28	23, 2, 27	omecl 42792	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → (𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) ∈ (0[,]+∞))
29	22, 28	sseldi 3967	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → (𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) ∈ ℝ*)
30	24	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → 𝑎 ⊆ ∪ dom 𝑂)
31	30	ssdifssd 4121	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → (𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ⊆ ∪ dom 𝑂)
32	23, 2, 31	omecl 42792	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) ∈ (0[,]+∞))
33	22, 32	sseldi 3967	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) ∈ ℝ*)
34	29, 33	xaddcld 12697	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ*)
35	23, 2, 30	omecl 42792	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → (𝑂‘𝑎) ∈ (0[,]+∞))
36	22, 35	sseldi 3967	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ*)
37		pnfge 12528	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ* → ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) ≤ +∞)
38	34, 37	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) ≤ +∞)
39	38	adantr 483	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ (𝑂‘𝑎) = +∞) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) ≤ +∞)
40		id 22	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑂‘𝑎) = +∞ → (𝑂‘𝑎) = +∞)
41	40	eqcomd 2829	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂‘𝑎) = +∞ → +∞ = (𝑂‘𝑎))
42	41	adantl 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ (𝑂‘𝑎) = +∞) → +∞ = (𝑂‘𝑎))
43	39, 42	breqtrd 5094	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ (𝑂‘𝑎) = +∞) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) ≤ (𝑂‘𝑎))
44		simpl 485	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ ¬ (𝑂‘𝑎) = +∞) → (𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂))
45		rge0ssre 12847	. . . . . 6 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
46		0xr 10690	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
47	46	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ ¬ (𝑂‘𝑎) = +∞) → 0 ∈ ℝ*)
48		pnfxr 10697	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
49	48	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ ¬ (𝑂‘𝑎) = +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
50	44, 35	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ ¬ (𝑂‘𝑎) = +∞) → (𝑂‘𝑎) ∈ (0[,]+∞))
51	40	necon3bi 3044	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑂‘𝑎) = +∞ → (𝑂‘𝑎) ≠ +∞)
52	51	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ ¬ (𝑂‘𝑎) = +∞) → (𝑂‘𝑎) ≠ +∞)
53	47, 49, 50, 52	eliccelicod 41813	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ ¬ (𝑂‘𝑎) = +∞) → (𝑂‘𝑎) ∈ (0[,)+∞))
54	45, 53	sseldi 3967	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ ¬ (𝑂‘𝑎) = +∞) → (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ)
55	23	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑂 ∈ OutMeas)
56	30	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑎 ⊆ ∪ dom 𝑂)
57		simpr 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ) → (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ)
58	57	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ)
59		carageniuncl.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
60	59	ad3antrrr 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
61	4	ad3antrrr 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐸:𝑍⟶𝑆)
62		simpr 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
63		eqid 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ∪ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑛)(𝐸‘𝑖)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ∪ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑛)(𝐸‘𝑖))
64		fveq2 6672	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐸‘𝑚) = (𝐸‘𝑛))
65		oveq2 7166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑀..^𝑚) = (𝑀..^𝑛))
66	65	iuneq1d 4948	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ∪ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑚)(𝐸‘𝑖) = ∪ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑛)(𝐸‘𝑖))
67	64, 66	difeq12d 4102	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝐸‘𝑚) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑚)(𝐸‘𝑖)) = ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑛)(𝐸‘𝑖)))
68	67	cbvmptv 5171	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐸‘𝑚) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑚)(𝐸‘𝑖))) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑛)(𝐸‘𝑖)))
69	55, 3, 2, 56, 58, 60, 14, 61, 62, 63, 68	carageniuncllem2 42811	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) ≤ ((𝑂‘𝑎) + 𝑥))
70	69	ralrimiva 3184	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) ≤ ((𝑂‘𝑎) + 𝑥))
71	34	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ*)
72		xralrple 12601	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ* ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ) → (((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) ≤ (𝑂‘𝑎) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) ≤ ((𝑂‘𝑎) + 𝑥)))
73	71, 57, 72	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ) → (((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) ≤ (𝑂‘𝑎) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) ≤ ((𝑂‘𝑎) + 𝑥)))
74	70, 73	mpbird 259	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℝ) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) ≤ (𝑂‘𝑎))
75	44, 54, 74	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) ∧ ¬ (𝑂‘𝑎) = +∞) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) ≤ (𝑂‘𝑎))
76	43, 75	pm2.61dan 811	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) ≤ (𝑂‘𝑎))
77	23, 2, 30	omelesplit 42807	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → (𝑂‘𝑎) ≤ ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))))
78	34, 36, 76, 77	xrletrid 12551	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))) = (𝑂‘𝑎))
79	1, 2, 3, 21, 78	carageneld 42791	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ∈ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  ∀wral 3140  Vcvv 3496   ∖ cdif 3935   ∩ cin 3937   ⊆ wss 3938  𝒫 cpw 4541  ∪ cuni 4840  ∪ ciun 4921   class class class wbr 5068   ↦ cmpt 5148  dom cdm 5557  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℝcr 10538  0cc0 10539   + caddc 10542  +∞cpnf 10674  ℝ^*cxr 10676   ≤ cle 10678  ℤcz 11984  ℤ_≥cuz 12246  ℝ⁺crp 12392   +_𝑒 cxad 12508  [,)cico 12743  [,]cicc 12744  ...cfz 12895  ..^cfzo 13036  OutMeascome 42778  CaraGenccaragen 42780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-inf2 9106  ax-ac2 9887  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-disj 5034  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-omul 8109  df-er 8291  df-map 8410  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-card 9370  df-acn 9373  df-ac 9544  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xadd 12511  df-ico 12747  df-icc 12748  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-clim 14847  df-sum 15045  df-sumge0 42652  df-ome 42779  df-caragen 42781

This theorem is referenced by:  caragenunicl  42813