Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  carageniuncl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem carageniuncl 41261
 Description: The Caratheodory's construction is closed under indexed countable union. Step (d) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 20. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carageniuncl.o (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
carageniuncl.s 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
carageniuncl.3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
carageniuncl.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
carageniuncl.e (𝜑𝐸:𝑍𝑆)
Assertion
Ref Expression
carageniuncl (𝜑 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑛,𝐸   𝑛,𝑀   𝑛,𝑂   𝑛,𝑍   𝜑,𝑛
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem carageniuncl
Dummy variables 𝑎 𝑖 𝑥 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 carageniuncl.o . 2 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
2 eqid 2760 . 2 dom 𝑂 = dom 𝑂
3 carageniuncl.s . 2 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
4 carageniuncl.e . . . . . . . 8 (𝜑𝐸:𝑍𝑆)
54ffvelrnda 6523 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ∈ 𝑆)
6 elssuni 4619 . . . . . . 7 ((𝐸𝑛) ∈ 𝑆 → (𝐸𝑛) ⊆ 𝑆)
75, 6syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ 𝑆)
81, 3caragenuni 41249 . . . . . . 7 (𝜑 𝑆 = dom 𝑂)
98adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑆 = dom 𝑂)
107, 9sseqtrd 3782 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ dom 𝑂)
1110ralrimiva 3104 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ dom 𝑂)
12 iunss 4713 . . . 4 ( 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ dom 𝑂 ↔ ∀𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ dom 𝑂)
1311, 12sylibr 224 . . 3 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ dom 𝑂)
14 carageniuncl.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑀)
15 fvex 6363 . . . . . . 7 (ℤ𝑀) ∈ V
1614, 15eqeltri 2835 . . . . . 6 𝑍 ∈ V
17 fvex 6363 . . . . . 6 (𝐸𝑛) ∈ V
1816, 17iunex 7313 . . . . 5 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ∈ V
1918a1i 11 . . . 4 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ∈ V)
20 elpwg 4310 . . . 4 ( 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ∈ V → ( 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ∈ 𝒫 dom 𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ dom 𝑂))
2119, 20syl 17 . . 3 (𝜑 → ( 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ∈ 𝒫 dom 𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ dom 𝑂))
2213, 21mpbird 247 . 2 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ∈ 𝒫 dom 𝑂)
23 iccssxr 12469 . . . . 5 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
241adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → 𝑂 ∈ OutMeas)
25 elpwi 4312 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑎 dom 𝑂)
26 ssinss1 3984 . . . . . . . 8 (𝑎 dom 𝑂 → (𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ⊆ dom 𝑂)
2725, 26syl 17 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → (𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ⊆ dom 𝑂)
2827adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → (𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ⊆ dom 𝑂)
2924, 2, 28omecl 41241 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → (𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) ∈ (0[,]+∞))
3023, 29sseldi 3742 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → (𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) ∈ ℝ*)
3125adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → 𝑎 dom 𝑂)
3231ssdifssd 3891 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → (𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ⊆ dom 𝑂)
3324, 2, 32omecl 41241 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → (𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) ∈ (0[,]+∞))
3423, 33sseldi 3742 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → (𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) ∈ ℝ*)
3530, 34xaddcld 12344 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → ((𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) ∈ ℝ*)
3624, 2, 31omecl 41241 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → (𝑂𝑎) ∈ (0[,]+∞))
3723, 36sseldi 3742 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → (𝑂𝑎) ∈ ℝ*)
38 pnfge 12177 . . . . . . 7 (((𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) ∈ ℝ* → ((𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) ≤ +∞)
3935, 38syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → ((𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) ≤ +∞)
4039adantr 472 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ (𝑂𝑎) = +∞) → ((𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) ≤ +∞)
41 id 22 . . . . . . 7 ((𝑂𝑎) = +∞ → (𝑂𝑎) = +∞)
4241eqcomd 2766 . . . . . 6 ((𝑂𝑎) = +∞ → +∞ = (𝑂𝑎))
4342adantl 473 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ (𝑂𝑎) = +∞) → +∞ = (𝑂𝑎))
4440, 43breqtrd 4830 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ (𝑂𝑎) = +∞) → ((𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) ≤ (𝑂𝑎))
45 simpl 474 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ ¬ (𝑂𝑎) = +∞) → (𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂))
46 rge0ssre 12493 . . . . . 6 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
47 0xr 10298 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
4847a1i 11 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ ¬ (𝑂𝑎) = +∞) → 0 ∈ ℝ*)
49 pnfxr 10304 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
5049a1i 11 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ ¬ (𝑂𝑎) = +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
5145, 36syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ ¬ (𝑂𝑎) = +∞) → (𝑂𝑎) ∈ (0[,]+∞))
5241necon3bi 2958 . . . . . . . 8 (¬ (𝑂𝑎) = +∞ → (𝑂𝑎) ≠ +∞)
5352adantl 473 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ ¬ (𝑂𝑎) = +∞) → (𝑂𝑎) ≠ +∞)
5448, 50, 51, 53eliccelicod 40278 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ ¬ (𝑂𝑎) = +∞) → (𝑂𝑎) ∈ (0[,)+∞))
5546, 54sseldi 3742 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ ¬ (𝑂𝑎) = +∞) → (𝑂𝑎) ∈ ℝ)
5624ad2antrr 764 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ (𝑂𝑎) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑂 ∈ OutMeas)
5731ad2antrr 764 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ (𝑂𝑎) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑎 dom 𝑂)
58 simpr 479 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ (𝑂𝑎) ∈ ℝ) → (𝑂𝑎) ∈ ℝ)
5958adantr 472 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ (𝑂𝑎) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑂𝑎) ∈ ℝ)
60 carageniuncl.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
6160ad3antrrr 768 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ (𝑂𝑎) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
624ad3antrrr 768 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ (𝑂𝑎) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐸:𝑍𝑆)
63 simpr 479 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ (𝑂𝑎) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
64 eqid 2760 . . . . . . . 8 (𝑛𝑍 𝑖 ∈ (𝑀...𝑛)(𝐸𝑖)) = (𝑛𝑍 𝑖 ∈ (𝑀...𝑛)(𝐸𝑖))
65 fveq2 6353 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → (𝐸𝑚) = (𝐸𝑛))
66 oveq2 6822 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → (𝑀..^𝑚) = (𝑀..^𝑛))
6766iuneq1d 4697 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑚)(𝐸𝑖) = 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑛)(𝐸𝑖))
6865, 67difeq12d 3872 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → ((𝐸𝑚) ∖ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑚)(𝐸𝑖)) = ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑛)(𝐸𝑖)))
6968cbvmptv 4902 . . . . . . . 8 (𝑚𝑍 ↦ ((𝐸𝑚) ∖ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑚)(𝐸𝑖))) = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑛)(𝐸𝑖)))
7056, 3, 2, 57, 59, 61, 14, 62, 63, 64, 69carageniuncllem2 41260 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ (𝑂𝑎) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) ≤ ((𝑂𝑎) + 𝑥))
7170ralrimiva 3104 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ (𝑂𝑎) ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) ≤ ((𝑂𝑎) + 𝑥))
7235adantr 472 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ (𝑂𝑎) ∈ ℝ) → ((𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) ∈ ℝ*)
73 xralrple 12249 . . . . . . 7 ((((𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) ∈ ℝ* ∧ (𝑂𝑎) ∈ ℝ) → (((𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) ≤ (𝑂𝑎) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) ≤ ((𝑂𝑎) + 𝑥)))
7472, 58, 73syl2anc 696 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ (𝑂𝑎) ∈ ℝ) → (((𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) ≤ (𝑂𝑎) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) ≤ ((𝑂𝑎) + 𝑥)))
7571, 74mpbird 247 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ (𝑂𝑎) ∈ ℝ) → ((𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) ≤ (𝑂𝑎))
7645, 55, 75syl2anc 696 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ ¬ (𝑂𝑎) = +∞) → ((𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) ≤ (𝑂𝑎))
7744, 76pm2.61dan 867 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → ((𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) ≤ (𝑂𝑎))
7824, 2, 31omelesplit 41256 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → (𝑂𝑎) ≤ ((𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))))
7935, 37, 77, 78xrletrid 12199 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → ((𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) = (𝑂𝑎))
801, 2, 3, 22, 79carageneld 41240 1 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ∈ 𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∀wral 3050  Vcvv 3340   ∖ cdif 3712   ∩ cin 3714   ⊆ wss 3715  𝒫 cpw 4302  ∪ cuni 4588  ∪ ciun 4672   class class class wbr 4804   ↦ cmpt 4881  dom cdm 5266  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  ℝcr 10147  0cc0 10148   + caddc 10151  +∞cpnf 10283  ℝ*cxr 10285   ≤ cle 10287  ℤcz 11589  ℤ≥cuz 11899  ℝ+crp 12045   +𝑒 cxad 12157  [,)cico 12390  [,]cicc 12391  ...cfz 12539  ..^cfzo 12679  OutMeascome 41227  CaraGenccaragen 41229 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-ac2 9497  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-disj 4773  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-omul 7735  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-acn 8978  df-ac 9149  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xadd 12160  df-ico 12394  df-icc 12395  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-seq 13016  df-exp 13075  df-hash 13332  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438  df-sum 14636  df-sumge0 41101  df-ome 41228  df-caragen 41230 This theorem is referenced by:  caragenunicl  41262
 Copyright terms: Public domain W3C validator