Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  caragenuncl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caragenuncl 41048
 Description: The Caratheodory's construction is closed under the union. Step (c) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 20. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caragenuncl.1 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
caragenuncl.2 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
caragenuncl.3 (𝜑𝐸𝑆)
caragenuncl.4 (𝜑𝐹𝑆)
Assertion
Ref Expression
caragenuncl (𝜑 → (𝐸𝐹) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem caragenuncl
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caragenuncl.1 . 2 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
2 eqid 2651 . 2 dom 𝑂 = dom 𝑂
3 caragenuncl.2 . 2 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
4 caragenuncl.3 . . . . 5 (𝜑𝐸𝑆)
51, 3, 4, 2caragenelss 41036 . . . 4 (𝜑𝐸 dom 𝑂)
6 caragenuncl.4 . . . . 5 (𝜑𝐹𝑆)
71, 3, 6, 2caragenelss 41036 . . . 4 (𝜑𝐹 dom 𝑂)
85, 7unssd 3822 . . 3 (𝜑 → (𝐸𝐹) ⊆ dom 𝑂)
91, 2unidmex 39531 . . . . 5 (𝜑 dom 𝑂 ∈ V)
10 ssexg 4837 . . . . 5 (((𝐸𝐹) ⊆ dom 𝑂 dom 𝑂 ∈ V) → (𝐸𝐹) ∈ V)
118, 9, 10syl2anc 694 . . . 4 (𝜑 → (𝐸𝐹) ∈ V)
12 elpwg 4199 . . . 4 ((𝐸𝐹) ∈ V → ((𝐸𝐹) ∈ 𝒫 dom 𝑂 ↔ (𝐸𝐹) ⊆ dom 𝑂))
1311, 12syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐸𝐹) ∈ 𝒫 dom 𝑂 ↔ (𝐸𝐹) ⊆ dom 𝑂))
148, 13mpbird 247 . 2 (𝜑 → (𝐸𝐹) ∈ 𝒫 dom 𝑂)
151adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → 𝑂 ∈ OutMeas)
164adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → 𝐸𝑆)
176adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → 𝐹𝑆)
18 elpwi 4201 . . . 4 (𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑎 dom 𝑂)
1918adantl 481 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → 𝑎 dom 𝑂)
2015, 3, 16, 17, 2, 19caragenuncllem 41047 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ (𝐸𝐹))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ (𝐸𝐹)))) = (𝑂𝑎))
211, 2, 3, 14, 20carageneld 41037 1 (𝜑 → (𝐸𝐹) ∈ 𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231   ∪ cun 3605   ⊆ wss 3607  𝒫 cpw 4191  ∪ cuni 4468  dom cdm 5143  ‘cfv 5926  OutMeascome 41024  CaraGenccaragen 41026 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-addass 10039  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-xadd 11985  df-icc 12220  df-ome 41025  df-caragen 41027 This theorem is referenced by:  caragenfiiuncl  41050
 Copyright terms: Public domain W3C validator