Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  caragenuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caragenuni 42670
Description: The base set of the sigma-algebra generated by the Caratheodory's construction is the whole base set of the original outer measure. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caragenuni.o (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
caragenuni.s 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
Assertion
Ref Expression
caragenuni (𝜑 𝑆 = dom 𝑂)

Proof of Theorem caragenuni
StepHypRef Expression
1 caragenuni.o . . . 4 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
2 caragenuni.s . . . . 5 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
32caragenss 42663 . . . 4 (𝑂 ∈ OutMeas → 𝑆 ⊆ dom 𝑂)
41, 3syl 17 . . 3 (𝜑𝑆 ⊆ dom 𝑂)
54unissd 4854 . 2 (𝜑 𝑆 dom 𝑂)
6 eqid 2818 . . . 4 dom 𝑂 = dom 𝑂
71, 6, 2caragenunidm 42667 . . 3 (𝜑 dom 𝑂𝑆)
8 elssuni 4859 . . 3 ( dom 𝑂𝑆 dom 𝑂 𝑆)
97, 8syl 17 . 2 (𝜑 dom 𝑂 𝑆)
105, 9eqssd 3981 1 (𝜑 𝑆 = dom 𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  wss 3933   cuni 4830  dom cdm 5548  cfv 6348  OutMeascome 42648  CaraGenccaragen 42650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-xadd 12496  df-icc 12733  df-ome 42649  df-caragen 42651
This theorem is referenced by:  caragendifcl  42673  carageniuncl  42682  unidmvon  42776
  Copyright terms: Public domain W3C validator