MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cardeq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cardeq0 9371
Description: Only the empty set has cardinality zero. (Contributed by NM, 23-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
cardeq0 (𝐴𝑉 → ((card‘𝐴) = ∅ ↔ 𝐴 = ∅))

Proof of Theorem cardeq0
StepHypRef Expression
1 0ex 4788 . . 3 ∅ ∈ V
2 carden 9370 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ∅ ∈ V) → ((card‘𝐴) = (card‘∅) ↔ 𝐴 ≈ ∅))
31, 2mpan2 707 . 2 (𝐴𝑉 → ((card‘𝐴) = (card‘∅) ↔ 𝐴 ≈ ∅))
4 card0 8781 . . 3 (card‘∅) = ∅
54eqeq2i 2633 . 2 ((card‘𝐴) = (card‘∅) ↔ (card‘𝐴) = ∅)
6 en0 8016 . 2 (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
73, 5, 63bitr3g 302 1 (𝐴𝑉 → ((card‘𝐴) = ∅ ↔ 𝐴 = ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1482  wcel 1989  Vcvv 3198  c0 3913   class class class wbr 4651  cfv 5886  cen 7949  cardccrd 8758
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-ac2 9282
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-se 5072  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-isom 5895  df-riota 6608  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-er 7739  df-en 7953  df-card 8762  df-ac 8936
This theorem is referenced by:  tskcard  9600
  Copyright terms: Public domain W3C validator