MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cardnn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cardnn 8733
Description: The cardinality of a natural number is the number. Corollary 10.23 of [TakeutiZaring] p. 90. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
cardnn (𝐴 ∈ ω → (card‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem cardnn
StepHypRef Expression
1 nnon 7018 . . 3 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2 onenon 8719 . . 3 (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)
3 cardid2 8723 . . 3 (𝐴 ∈ dom card → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)
41, 2, 33syl 18 . 2 (𝐴 ∈ ω → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)
5 nnfi 8097 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)
6 ficardom 8731 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω)
75, 6syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ω → (card‘𝐴) ∈ ω)
8 nneneq 8087 . . 3 (((card‘𝐴) ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((card‘𝐴) ≈ 𝐴 ↔ (card‘𝐴) = 𝐴))
97, 8mpancom 702 . 2 (𝐴 ∈ ω → ((card‘𝐴) ≈ 𝐴 ↔ (card‘𝐴) = 𝐴))
104, 9mpbid 222 1 (𝐴 ∈ ω → (card‘𝐴) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4613  dom cdm 5074  Oncon0 5682  cfv 5847  ωcom 7012  cen 7896  Fincfn 7899  cardccrd 8705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-om 7013  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709
This theorem is referenced by:  card1  8738  cardennn  8753  cardsucnn  8755  nnsdomel  8760  pm54.43lem  8769  iscard3  8860  nnacda  8967  ficardun  8968  ficardun2  8969  pwsdompw  8970  ackbij2  9009  sdom2en01  9068  fin23lem22  9093  fin1a2lem9  9174  ficard  9331  cfpwsdom  9350  cardfz  12709  hashgval2  13107  hashdom  13108
  Copyright terms: Public domain W3C validator