Theorem carsgclctun 31581

Description: The Caratheodory measurable sets are closed under countable union. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
carsgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
carsgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
carsgsiga.1	⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
carsgsiga.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
carsgsiga.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑥) ≤ (𝑀‘𝑦))
carsgclctun.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ ω)
carsgclctun.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
carsgclctun	⊢ (𝜑 → ∪ 𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑂,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem carsgclctun

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		carsgclctun.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
2	1	unissd 4850	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐴 ⊆ ∪ (toCaraSiga‘𝑀))
3		carsgval.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
4		carsgval.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
5		carsgsiga.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
6	3, 4, 5	carsguni 31568	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ (toCaraSiga‘𝑀) = 𝑂)
7	2, 6	sseqtrd 4009	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐴 ⊆ 𝑂)
8	3	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑂 ∈ 𝑉)
9	4	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
10	5	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∅) = 0)
11		carsgsiga.2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
12	11	3adant1r 1173	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
13		carsgsiga.3	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑥) ≤ (𝑀‘𝑦))
14	13	3adant1r 1173	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑥) ≤ (𝑀‘𝑦))
15		carsgclctun.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ ω)
16	15	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝐴 ≼ ω)
17	1	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
18		simpr 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂)
19	8, 9, 10, 12, 14, 16, 17, 18	carsgclctunlem3 31580	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝑒))
20		inex1g 5225	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 → (𝑒 ∩ ∪ 𝐴) ∈ V)
21	20	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∩ ∪ 𝐴) ∈ V)
22		difexg 5233	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 → (𝑒 ∖ ∪ 𝐴) ∈ V)
23	22	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∖ ∪ 𝐴) ∈ V)
24		prct 30452	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑒 ∩ ∪ 𝐴) ∈ V ∧ (𝑒 ∖ ∪ 𝐴) ∈ V) → {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ≼ ω)
25	21, 23, 24	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ≼ ω)
26	18	elpwincl1 30288	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∩ ∪ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
27	18	elpwdifcl 30289	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∖ ∪ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
28		prssi 4756	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑒 ∩ ∪ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑒 ∖ ∪ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂) → {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ⊆ 𝒫 𝑂)
29	26, 27, 28	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ⊆ 𝒫 𝑂)
30		prex 5335	. . . . . . . . 9 ⊢ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ∈ V
31		breq1 5071	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} → (𝑥 ≼ ω ↔ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ≼ ω))
32		sseq1 3994	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} → (𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂 ↔ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ⊆ 𝒫 𝑂))
33	31, 32	3anbi23d 1435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} → ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) ↔ (𝜑 ∧ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ≼ ω ∧ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ⊆ 𝒫 𝑂)))
34		unieq 4851	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} → ∪ 𝑥 = ∪ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)})
35	34	fveq2d 6676	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} → (𝑀‘∪ 𝑥) = (𝑀‘∪ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)}))
36		esumeq1 31295	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} → Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} (𝑀‘𝑦))
37	35, 36	breq12d 5081	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} → ((𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦) ↔ (𝑀‘∪ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)}) ≤ Σ*𝑦 ∈ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} (𝑀‘𝑦)))
38	33, 37	imbi12d 347	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} → (((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦)) ↔ ((𝜑 ∧ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ≼ ω ∧ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)}) ≤ Σ*𝑦 ∈ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} (𝑀‘𝑦))))
39	38, 11	vtoclg 3569	. . . . . . . . 9 ⊢ ({(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ∈ V → ((𝜑 ∧ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ≼ ω ∧ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)}) ≤ Σ*𝑦 ∈ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} (𝑀‘𝑦)))
40	30, 39	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ≼ ω ∧ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)}) ≤ Σ*𝑦 ∈ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} (𝑀‘𝑦))
41	40	3adant1r 1173	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ≼ ω ∧ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)}) ≤ Σ*𝑦 ∈ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} (𝑀‘𝑦))
42	25, 29, 41	mpd3an23 1459	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)}) ≤ Σ*𝑦 ∈ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} (𝑀‘𝑦))
43		uniprg 4858	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑒 ∩ ∪ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑒 ∖ ∪ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂) → ∪ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} = ((𝑒 ∩ ∪ 𝐴) ∪ (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)))
44	26, 27, 43	syl2anc 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ∪ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} = ((𝑒 ∩ ∪ 𝐴) ∪ (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)))
45		inundif 4429	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑒 ∩ ∪ 𝐴) ∪ (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)) = 𝑒
46	44, 45	syl6eq 2874	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ∪ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} = 𝑒)
47	46	fveq2d 6676	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)}) = (𝑀‘𝑒))
48		simpr 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑦 = (𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) → 𝑦 = (𝑒 ∩ ∪ 𝐴))
49	48	fveq2d 6676	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑦 = (𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) → (𝑀‘𝑦) = (𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)))
50		simpr 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑦 = (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)) → 𝑦 = (𝑒 ∖ ∪ 𝐴))
51	50	fveq2d 6676	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑦 = (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)) → (𝑀‘𝑦) = (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴)))
52	9, 26	ffvelrnd 6854	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
53	9, 27	ffvelrnd 6854	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
54		ineq2 4185	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑒 ∩ ∪ 𝐴) = (𝑒 ∖ ∪ 𝐴) → ((𝑒 ∩ ∪ 𝐴) ∩ (𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) = ((𝑒 ∩ ∪ 𝐴) ∩ (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)))
55		inidm 4197	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑒 ∩ ∪ 𝐴) ∩ (𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) = (𝑒 ∩ ∪ 𝐴)
56		inindif 30280	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑒 ∩ ∪ 𝐴) ∩ (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)) = ∅
57	54, 55, 56	3eqtr3g 2881	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑒 ∩ ∪ 𝐴) = (𝑒 ∖ ∪ 𝐴) → (𝑒 ∩ ∪ 𝐴) = ∅)
58	57	adantl 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ (𝑒 ∩ ∪ 𝐴) = (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)) → (𝑒 ∩ ∪ 𝐴) = ∅)
59	58	fveq2d 6676	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ (𝑒 ∩ ∪ 𝐴) = (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)) → (𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) = (𝑀‘∅))
60	5	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ (𝑒 ∩ ∪ 𝐴) = (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)) → (𝑀‘∅) = 0)
61	59, 60	eqtrd 2858	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ (𝑒 ∩ ∪ 𝐴) = (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)) → (𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) = 0)
62	61	orcd 869	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ (𝑒 ∩ ∪ 𝐴) = (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) = 0 ∨ (𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) = +∞))
63	62	ex 415	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑒 ∩ ∪ 𝐴) = (𝑒 ∖ ∪ 𝐴) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) = 0 ∨ (𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) = +∞)))
64	49, 51, 26, 27, 52, 53, 63	esumpr2 31328	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → Σ*𝑦 ∈ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} (𝑀‘𝑦) = ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))))
65	42, 47, 64	3brtr3d 5099	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑒) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))))
66	19, 65	jca 514	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝑒) ∧ (𝑀‘𝑒) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴)))))
67		iccssxr 12822	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
68	67, 52	sseldi 3967	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) ∈ ℝ*)
69	67, 53	sseldi 3967	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴)) ∈ ℝ*)
70	68, 69	xaddcld 12697	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))) ∈ ℝ*)
71	4	ffvelrnda 6853	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑒) ∈ (0[,]+∞))
72	67, 71	sseldi 3967	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑒) ∈ ℝ*)
73		xrletri3 12550	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))) ∈ ℝ* ∧ (𝑀‘𝑒) ∈ ℝ*) → (((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒) ↔ (((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝑒) ∧ (𝑀‘𝑒) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))))))
74	70, 72, 73	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒) ↔ (((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝑒) ∧ (𝑀‘𝑒) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))))))
75	66, 74	mpbird 259	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒))
76	75	ralrimiva 3184	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒))
77	3, 4	elcarsg 31565	. 2 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ (∪ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒))))
78	7, 76, 77	mpbir2and 711	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3140  Vcvv 3496   ∖ cdif 3935   ∪ cun 3936   ∩ cin 3937   ⊆ wss 3938  ∅c0 4293  𝒫 cpw 4541  {cpr 4571  ∪ cuni 4840   class class class wbr 5068  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ωcom 7582   ≼ cdom 8509  0cc0 10539  +∞cpnf 10674  ℝ^*cxr 10676   ≤ cle 10678   +_𝑒 cxad 12508  [,]cicc 12744  Σ^*cesum 31288  toCaraSigaccarsg 31561

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-inf2 9106  ax-ac2 9887  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617  ax-addf 10618  ax-mulf 10619

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-iin 4924  df-disj 5034  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-supp 7833  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-2o 8105  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-pm 8411  df-ixp 8464  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-fsupp 8836  df-fi 8877  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-dju 9332  df-card 9370  df-acn 9373  df-ac 9544  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-ioo 12745  df-ioc 12746  df-ico 12747  df-icc 12748  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-mod 13241  df-seq 13373  df-exp 13433  df-fac 13637  df-bc 13666  df-hash 13694  df-shft 14428  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-limsup 14830  df-clim 14847  df-rlim 14848  df-sum 15045  df-ef 15423  df-sin 15425  df-cos 15426  df-pi 15428  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-starv 16582  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-ip 16585  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-unif 16590  df-hom 16591  df-cco 16592  df-rest 16698  df-topn 16699  df-0g 16717  df-gsum 16718  df-topgen 16719  df-pt 16720  df-prds 16723  df-ordt 16776  df-xrs 16777  df-qtop 16782  df-imas 16783  df-xps 16785  df-mre 16859  df-mrc 16860  df-acs 16862  df-ps 17812  df-tsr 17813  df-plusf 17853  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-mhm 17958  df-submnd 17959  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-sbg 18110  df-mulg 18227  df-subg 18278  df-cntz 18449  df-cmn 18910  df-abl 18911  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-cring 19302  df-subrg 19535  df-abv 19590  df-lmod 19638  df-scaf 19639  df-sra 19946  df-rgmod 19947  df-psmet 20539  df-xmet 20540  df-met 20541  df-bl 20542  df-mopn 20543  df-fbas 20544  df-fg 20545  df-cnfld 20548  df-top 21504  df-topon 21521  df-topsp 21543  df-bases 21556  df-cld 21629  df-ntr 21630  df-cls 21631  df-nei 21708  df-lp 21746  df-perf 21747  df-cn 21837  df-cnp 21838  df-haus 21925  df-tx 22172  df-hmeo 22365  df-fil 22456  df-fm 22548  df-flim 22549  df-flf 22550  df-tmd 22682  df-tgp 22683  df-tsms 22737  df-trg 22770  df-xms 22932  df-ms 22933  df-tms 22934  df-nm 23194  df-ngp 23195  df-nrg 23197  df-nlm 23198  df-ii 23487  df-cncf 23488  df-limc 24466  df-dv 24467  df-log 25142  df-esum 31289  df-carsg 31562

This theorem is referenced by:  carsgsiga  31582  omsmeas  31583