Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  carsgclctunlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem carsgclctunlem1 29507
Description: Lemma for carsgclctun 29511. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carsgval.1 (𝜑𝑂𝑉)
carsgval.2 (𝜑𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
carsgsiga.1 (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
carsgsiga.2 ((𝜑𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀 𝑥) ≤ Σ*𝑦𝑥(𝑀𝑦))
fiunelcarsg.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fiunelcarsg.2 (𝜑𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
carsgclctunlem1.1 (𝜑Disj 𝑦𝐴 𝑦)
carsgclctunlem1.2 (𝜑𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
Assertion
Ref Expression
carsgclctunlem1 (𝜑 → (𝑀‘(𝐸 𝐴)) = Σ*𝑦𝐴(𝑀‘(𝐸𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐸,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑂,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem carsgclctunlem1
Dummy variables 𝑎 𝑒 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unieq 4369 . . . . 5 (𝑎 = ∅ → 𝑎 = ∅)
21ineq2d 3770 . . . 4 (𝑎 = ∅ → (𝐸 𝑎) = (𝐸 ∅))
32fveq2d 6087 . . 3 (𝑎 = ∅ → (𝑀‘(𝐸 𝑎)) = (𝑀‘(𝐸 ∅)))
4 esumeq1 29224 . . 3 (𝑎 = ∅ → Σ*𝑦𝑎(𝑀‘(𝐸𝑦)) = Σ*𝑦 ∈ ∅(𝑀‘(𝐸𝑦)))
53, 4eqeq12d 2619 . 2 (𝑎 = ∅ → ((𝑀‘(𝐸 𝑎)) = Σ*𝑦𝑎(𝑀‘(𝐸𝑦)) ↔ (𝑀‘(𝐸 ∅)) = Σ*𝑦 ∈ ∅(𝑀‘(𝐸𝑦))))
6 unieq 4369 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 𝑎 = 𝑏)
76ineq2d 3770 . . . 4 (𝑎 = 𝑏 → (𝐸 𝑎) = (𝐸 𝑏))
87fveq2d 6087 . . 3 (𝑎 = 𝑏 → (𝑀‘(𝐸 𝑎)) = (𝑀‘(𝐸 𝑏)))
9 esumeq1 29224 . . 3 (𝑎 = 𝑏 → Σ*𝑦𝑎(𝑀‘(𝐸𝑦)) = Σ*𝑦𝑏(𝑀‘(𝐸𝑦)))
108, 9eqeq12d 2619 . 2 (𝑎 = 𝑏 → ((𝑀‘(𝐸 𝑎)) = Σ*𝑦𝑎(𝑀‘(𝐸𝑦)) ↔ (𝑀‘(𝐸 𝑏)) = Σ*𝑦𝑏(𝑀‘(𝐸𝑦))))
11 unieq 4369 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑥}) → 𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑥}))
1211ineq2d 3770 . . . 4 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑥}) → (𝐸 𝑎) = (𝐸 (𝑏 ∪ {𝑥})))
1312fveq2d 6087 . . 3 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑥}) → (𝑀‘(𝐸 𝑎)) = (𝑀‘(𝐸 (𝑏 ∪ {𝑥}))))
14 esumeq1 29224 . . 3 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑥}) → Σ*𝑦𝑎(𝑀‘(𝐸𝑦)) = Σ*𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑥})(𝑀‘(𝐸𝑦)))
1513, 14eqeq12d 2619 . 2 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑥}) → ((𝑀‘(𝐸 𝑎)) = Σ*𝑦𝑎(𝑀‘(𝐸𝑦)) ↔ (𝑀‘(𝐸 (𝑏 ∪ {𝑥}))) = Σ*𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑥})(𝑀‘(𝐸𝑦))))
16 unieq 4369 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 𝑎 = 𝐴)
1716ineq2d 3770 . . . 4 (𝑎 = 𝐴 → (𝐸 𝑎) = (𝐸 𝐴))
1817fveq2d 6087 . . 3 (𝑎 = 𝐴 → (𝑀‘(𝐸 𝑎)) = (𝑀‘(𝐸 𝐴)))
19 esumeq1 29224 . . 3 (𝑎 = 𝐴 → Σ*𝑦𝑎(𝑀‘(𝐸𝑦)) = Σ*𝑦𝐴(𝑀‘(𝐸𝑦)))
2018, 19eqeq12d 2619 . 2 (𝑎 = 𝐴 → ((𝑀‘(𝐸 𝑎)) = Σ*𝑦𝑎(𝑀‘(𝐸𝑦)) ↔ (𝑀‘(𝐸 𝐴)) = Σ*𝑦𝐴(𝑀‘(𝐸𝑦))))
21 carsgsiga.1 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
22 uni0 4390 . . . . . 6 ∅ = ∅
2322ineq2i 3767 . . . . 5 (𝐸 ∅) = (𝐸 ∩ ∅)
24 in0 3914 . . . . 5 (𝐸 ∩ ∅) = ∅
2523, 24eqtri 2626 . . . 4 (𝐸 ∅) = ∅
2625fveq2i 6086 . . 3 (𝑀‘(𝐸 ∅)) = (𝑀‘∅)
27 esumnul 29238 . . 3 Σ*𝑦 ∈ ∅(𝑀‘(𝐸𝑦)) = 0
2821, 26, 273eqtr4g 2663 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝐸 ∅)) = Σ*𝑦 ∈ ∅(𝑀‘(𝐸𝑦)))
29 simpr 475 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ (𝑀‘(𝐸 𝑏)) = Σ*𝑦𝑏(𝑀‘(𝐸𝑦))) → (𝑀‘(𝐸 𝑏)) = Σ*𝑦𝑏(𝑀‘(𝐸𝑦)))
3029eqcomd 2610 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ (𝑀‘(𝐸 𝑏)) = Σ*𝑦𝑏(𝑀‘(𝐸𝑦))) → Σ*𝑦𝑏(𝑀‘(𝐸𝑦)) = (𝑀‘(𝐸 𝑏)))
31 simpr 475 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
3231ineq2d 3770 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝐸𝑦) = (𝐸𝑥))
3332fveq2d 6087 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑀‘(𝐸𝑦)) = (𝑀‘(𝐸𝑥)))
34 simprr 791 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → 𝑥 ∈ (𝐴𝑏))
35 carsgval.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
3635adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
37 carsgclctunlem1.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
3837adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
3938elpwincl1 28542 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → (𝐸𝑥) ∈ 𝒫 𝑂)
4036, 39ffvelrnd 6248 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → (𝑀‘(𝐸𝑥)) ∈ (0[,]+∞))
4133, 34, 40esumsn 29255 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → Σ*𝑦 ∈ {𝑥} (𝑀‘(𝐸𝑦)) = (𝑀‘(𝐸𝑥)))
4241adantr 479 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ (𝑀‘(𝐸 𝑏)) = Σ*𝑦𝑏(𝑀‘(𝐸𝑦))) → Σ*𝑦 ∈ {𝑥} (𝑀‘(𝐸𝑦)) = (𝑀‘(𝐸𝑥)))
4330, 42oveq12d 6540 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ (𝑀‘(𝐸 𝑏)) = Σ*𝑦𝑏(𝑀‘(𝐸𝑦))) → (Σ*𝑦𝑏(𝑀‘(𝐸𝑦)) +𝑒 Σ*𝑦 ∈ {𝑥} (𝑀‘(𝐸𝑦))) = ((𝑀‘(𝐸 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸𝑥))))
44 nfv 1828 . . . . . 6 𝑦(𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏)))
45 nfcv 2745 . . . . . 6 𝑦𝑏
46 nfcv 2745 . . . . . 6 𝑦{𝑥}
47 vex 3170 . . . . . . 7 𝑏 ∈ V
4847a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → 𝑏 ∈ V)
49 snex 4825 . . . . . . 7 {𝑥} ∈ V
5049a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → {𝑥} ∈ V)
5134eldifbd 3547 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → ¬ 𝑥𝑏)
52 disjsn 4186 . . . . . . 7 ((𝑏 ∩ {𝑥}) = ∅ ↔ ¬ 𝑥𝑏)
5351, 52sylibr 222 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → (𝑏 ∩ {𝑥}) = ∅)
5435ad2antrr 757 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑦𝑏) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
5537ad2antrr 757 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑦𝑏) → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
5655elpwincl1 28542 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑦𝑏) → (𝐸𝑦) ∈ 𝒫 𝑂)
5754, 56ffvelrnd 6248 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑦𝑏) → (𝑀‘(𝐸𝑦)) ∈ (0[,]+∞))
5835ad2antrr 757 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑦 ∈ {𝑥}) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
5937ad2antrr 757 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑦 ∈ {𝑥}) → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
6059elpwincl1 28542 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑦 ∈ {𝑥}) → (𝐸𝑦) ∈ 𝒫 𝑂)
6158, 60ffvelrnd 6248 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑦 ∈ {𝑥}) → (𝑀‘(𝐸𝑦)) ∈ (0[,]+∞))
6244, 45, 46, 48, 50, 53, 57, 61esumsplit 29243 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → Σ*𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑥})(𝑀‘(𝐸𝑦)) = (Σ*𝑦𝑏(𝑀‘(𝐸𝑦)) +𝑒 Σ*𝑦 ∈ {𝑥} (𝑀‘(𝐸𝑦))))
6362adantr 479 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ (𝑀‘(𝐸 𝑏)) = Σ*𝑦𝑏(𝑀‘(𝐸𝑦))) → Σ*𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑥})(𝑀‘(𝐸𝑦)) = (Σ*𝑦𝑏(𝑀‘(𝐸𝑦)) +𝑒 Σ*𝑦 ∈ {𝑥} (𝑀‘(𝐸𝑦))))
64 inass 3779 . . . . . . . . . 10 ((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∩ 𝑏) = (𝐸 ∩ (( 𝑏𝑥) ∩ 𝑏))
65 indir 3828 . . . . . . . . . . . 12 (( 𝑏𝑥) ∩ 𝑏) = (( 𝑏 𝑏) ∪ (𝑥 𝑏))
66 inidm 3778 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( 𝑏 𝑏) = 𝑏
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → ( 𝑏 𝑏) = 𝑏)
68 incom 3761 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( 𝑏𝑥) = (𝑥 𝑏)
69 carsgclctunlem1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑Disj 𝑦𝐴 𝑦)
7069adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → Disj 𝑦𝐴 𝑦)
71 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑏𝐴) → 𝑏𝐴)
7271adantrr 748 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → 𝑏𝐴)
7370, 72, 34disjuniel 28593 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → ( 𝑏𝑥) = ∅)
7468, 73syl5eqr 2652 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → (𝑥 𝑏) = ∅)
7567, 74uneq12d 3724 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → (( 𝑏 𝑏) ∪ (𝑥 𝑏)) = ( 𝑏 ∪ ∅))
76 un0 3913 . . . . . . . . . . . . 13 ( 𝑏 ∪ ∅) = 𝑏
7775, 76syl6eq 2654 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → (( 𝑏 𝑏) ∪ (𝑥 𝑏)) = 𝑏)
7865, 77syl5eq 2650 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → (( 𝑏𝑥) ∩ 𝑏) = 𝑏)
7978ineq2d 3770 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → (𝐸 ∩ (( 𝑏𝑥) ∩ 𝑏)) = (𝐸 𝑏))
8064, 79syl5eq 2650 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → ((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∩ 𝑏) = (𝐸 𝑏))
8180fveq2d 6087 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → (𝑀‘((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∩ 𝑏)) = (𝑀‘(𝐸 𝑏)))
82 indif2 3823 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∩ (( 𝑏𝑥) ∖ 𝑏)) = ((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∖ 𝑏)
83 uncom 3713 . . . . . . . . . . . . . 14 ( 𝑏𝑥) = (𝑥 𝑏)
8483difeq1i 3680 . . . . . . . . . . . . 13 (( 𝑏𝑥) ∖ 𝑏) = ((𝑥 𝑏) ∖ 𝑏)
85 disj3 3967 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 𝑏) = ∅ ↔ 𝑥 = (𝑥 𝑏))
8685biimpi 204 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 𝑏) = ∅ → 𝑥 = (𝑥 𝑏))
87 difun2 3994 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 𝑏) ∖ 𝑏) = (𝑥 𝑏)
8886, 87syl6reqr 2657 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 𝑏) = ∅ → ((𝑥 𝑏) ∖ 𝑏) = 𝑥)
8984, 88syl5eq 2650 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 𝑏) = ∅ → (( 𝑏𝑥) ∖ 𝑏) = 𝑥)
9074, 89syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → (( 𝑏𝑥) ∖ 𝑏) = 𝑥)
9190ineq2d 3770 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → (𝐸 ∩ (( 𝑏𝑥) ∖ 𝑏)) = (𝐸𝑥))
9282, 91syl5eqr 2652 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → ((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∖ 𝑏) = (𝐸𝑥))
9392fveq2d 6087 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → (𝑀‘((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∖ 𝑏)) = (𝑀‘(𝐸𝑥)))
9481, 93oveq12d 6540 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → ((𝑀‘((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∩ 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∖ 𝑏))) = ((𝑀‘(𝐸 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸𝑥))))
95 carsgval.1 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑂𝑉)
9695adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑏𝐴) → 𝑂𝑉)
9735adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑏𝐴) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
9821adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑏𝐴) → (𝑀‘∅) = 0)
99 carsgsiga.2 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀 𝑥) ≤ Σ*𝑦𝑥(𝑀𝑦))
100993adant1r 1310 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑏𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀 𝑥) ≤ Σ*𝑦𝑥(𝑀𝑦))
101 fiunelcarsg.1 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
102 ssfi 8037 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏𝐴) → 𝑏 ∈ Fin)
103101, 102sylan 486 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑏𝐴) → 𝑏 ∈ Fin)
104 fiunelcarsg.2 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
105104adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑏𝐴) → 𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
10671, 105sstrd 3572 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑏𝐴) → 𝑏 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
10796, 97, 98, 100, 103, 106fiunelcarsg 29506 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑏𝐴) → 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
10895, 35elcarsg 29495 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ( 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ ( 𝑏𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 𝑏))) = (𝑀𝑒))))
109108adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑏𝐴) → ( 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ ( 𝑏𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 𝑏))) = (𝑀𝑒))))
110107, 109mpbid 220 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝐴) → ( 𝑏𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 𝑏))) = (𝑀𝑒)))
111110simprd 477 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑏𝐴) → ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 𝑏))) = (𝑀𝑒))
112111adantrr 748 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 𝑏))) = (𝑀𝑒))
11338elpwincl1 28542 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → (𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∈ 𝒫 𝑂)
114 simpr 475 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥))) → 𝑒 = (𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)))
115114ineq1d 3769 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥))) → (𝑒 𝑏) = ((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∩ 𝑏))
116115fveq2d 6087 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥))) → (𝑀‘(𝑒 𝑏)) = (𝑀‘((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∩ 𝑏)))
117114difeq1d 3683 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥))) → (𝑒 𝑏) = ((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∖ 𝑏))
118117fveq2d 6087 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥))) → (𝑀‘(𝑒 𝑏)) = (𝑀‘((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∖ 𝑏)))
119116, 118oveq12d 6540 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥))) → ((𝑀‘(𝑒 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 𝑏))) = ((𝑀‘((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∩ 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∖ 𝑏))))
120114fveq2d 6087 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥))) → (𝑀𝑒) = (𝑀‘(𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥))))
121119, 120eqeq12d 2619 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥))) → (((𝑀‘(𝑒 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 𝑏))) = (𝑀𝑒) ↔ ((𝑀‘((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∩ 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∖ 𝑏))) = (𝑀‘(𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)))))
122113, 121rspcdv 3279 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → (∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 𝑏))) = (𝑀𝑒) → ((𝑀‘((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∩ 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∖ 𝑏))) = (𝑀‘(𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)))))
123112, 122mpd 15 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → ((𝑀‘((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∩ 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∖ 𝑏))) = (𝑀‘(𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥))))
12494, 123eqtr3d 2640 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → ((𝑀‘(𝐸 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸𝑥))) = (𝑀‘(𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥))))
125124adantr 479 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ (𝑀‘(𝐸 𝑏)) = Σ*𝑦𝑏(𝑀‘(𝐸𝑦))) → ((𝑀‘(𝐸 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸𝑥))) = (𝑀‘(𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥))))
126 uniun 4381 . . . . . . . 8 (𝑏 ∪ {𝑥}) = ( 𝑏 {𝑥})
127 vex 3170 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
128127unisn 4376 . . . . . . . . 9 {𝑥} = 𝑥
129128uneq2i 3720 . . . . . . . 8 ( 𝑏 {𝑥}) = ( 𝑏𝑥)
130126, 129eqtri 2626 . . . . . . 7 (𝑏 ∪ {𝑥}) = ( 𝑏𝑥)
131130ineq2i 3767 . . . . . 6 (𝐸 (𝑏 ∪ {𝑥})) = (𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥))
132131fveq2i 6086 . . . . 5 (𝑀‘(𝐸 (𝑏 ∪ {𝑥}))) = (𝑀‘(𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)))
133125, 132syl6reqr 2657 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ (𝑀‘(𝐸 𝑏)) = Σ*𝑦𝑏(𝑀‘(𝐸𝑦))) → (𝑀‘(𝐸 (𝑏 ∪ {𝑥}))) = ((𝑀‘(𝐸 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸𝑥))))
13443, 63, 1333eqtr4rd 2649 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ (𝑀‘(𝐸 𝑏)) = Σ*𝑦𝑏(𝑀‘(𝐸𝑦))) → (𝑀‘(𝐸 (𝑏 ∪ {𝑥}))) = Σ*𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑥})(𝑀‘(𝐸𝑦)))
135134ex 448 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → ((𝑀‘(𝐸 𝑏)) = Σ*𝑦𝑏(𝑀‘(𝐸𝑦)) → (𝑀‘(𝐸 (𝑏 ∪ {𝑥}))) = Σ*𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑥})(𝑀‘(𝐸𝑦))))
1365, 10, 15, 20, 28, 135, 101findcard2d 8059 1 (𝜑 → (𝑀‘(𝐸 𝐴)) = Σ*𝑦𝐴(𝑀‘(𝐸𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975  wral 2890  Vcvv 3167  cdif 3531  cun 3532  cin 3533  wss 3534  c0 3868  𝒫 cpw 4102  {csn 4119   cuni 4361  Disj wdisj 4542   class class class wbr 4572  wf 5781  cfv 5785  (class class class)co 6522  ωcom 6929  cdom 7811  Fincfn 7813  0cc0 9787  +∞cpnf 9922  cle 9926   +𝑒 cxad 11771  [,]cicc 12000  Σ*cesum 29217  toCaraSigaccarsg 29491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2227  ax-ext 2584  ax-rep 4688  ax-sep 4698  ax-nul 4707  ax-pow 4759  ax-pr 4823  ax-un 6819  ax-inf2 8393  ax-cnex 9843  ax-resscn 9844  ax-1cn 9845  ax-icn 9846  ax-addcl 9847  ax-addrcl 9848  ax-mulcl 9849  ax-mulrcl 9850  ax-mulcom 9851  ax-addass 9852  ax-mulass 9853  ax-distr 9854  ax-i2m1 9855  ax-1ne0 9856  ax-1rid 9857  ax-rnegex 9858  ax-rrecex 9859  ax-cnre 9860  ax-pre-lttri 9861  ax-pre-lttrn 9862  ax-pre-ltadd 9863  ax-pre-mulgt0 9864  ax-pre-sup 9865  ax-addf 9866  ax-mulf 9867
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2456  df-mo 2457  df-clab 2591  df-cleq 2597  df-clel 2600  df-nfc 2734  df-ne 2776  df-nel 2777  df-ral 2895  df-rex 2896  df-reu 2897  df-rmo 2898  df-rab 2899  df-v 3169  df-sbc 3397  df-csb 3494  df-dif 3537  df-un 3539  df-in 3541  df-ss 3548  df-pss 3550  df-nul 3869  df-if 4031  df-pw 4104  df-sn 4120  df-pr 4122  df-tp 4124  df-op 4126  df-uni 4362  df-int 4400  df-iun 4446  df-iin 4447  df-disj 4543  df-br 4573  df-opab 4633  df-mpt 4634  df-tr 4670  df-eprel 4934  df-id 4938  df-po 4944  df-so 4945  df-fr 4982  df-se 4983  df-we 4984  df-xp 5029  df-rel 5030  df-cnv 5031  df-co 5032  df-dm 5033  df-rn 5034  df-res 5035  df-ima 5036  df-pred 5578  df-ord 5624  df-on 5625  df-lim 5626  df-suc 5627  df-iota 5749  df-fun 5787  df-fn 5788  df-f 5789  df-f1 5790  df-fo 5791  df-f1o 5792  df-fv 5793  df-isom 5794  df-riota 6484  df-ov 6525  df-oprab 6526  df-mpt2 6527  df-of 6767  df-om 6930  df-1st 7031  df-2nd 7032  df-supp 7155  df-wrecs 7266  df-recs 7327  df-rdg 7365  df-1o 7419  df-2o 7420  df-oadd 7423  df-er 7601  df-map 7718  df-pm 7719  df-ixp 7767  df-en 7814  df-dom 7815  df-sdom 7816  df-fin 7817  df-fsupp 8131  df-fi 8172  df-sup 8203  df-inf 8204  df-oi 8270  df-card 8620  df-cda 8845  df-pnf 9927  df-mnf 9928  df-xr 9929  df-ltxr 9930  df-le 9931  df-sub 10114  df-neg 10115  df-div 10529  df-nn 10863  df-2 10921  df-3 10922  df-4 10923  df-5 10924  df-6 10925  df-7 10926  df-8 10927  df-9 10928  df-n0 11135  df-z 11206  df-dec 11321  df-uz 11515  df-q 11616  df-rp 11660  df-xneg 11773  df-xadd 11774  df-xmul 11775  df-ioo 12001  df-ioc 12002  df-ico 12003  df-icc 12004  df-fz 12148  df-fzo 12285  df-fl 12405  df-mod 12481  df-seq 12614  df-exp 12673  df-fac 12873  df-bc 12902  df-hash 12930  df-shft 13596  df-cj 13628  df-re 13629  df-im 13630  df-sqrt 13764  df-abs 13765  df-limsup 13991  df-clim 14008  df-rlim 14009  df-sum 14206  df-ef 14578  df-sin 14580  df-cos 14581  df-pi 14583  df-struct 15638  df-ndx 15639  df-slot 15640  df-base 15641  df-sets 15642  df-ress 15643  df-plusg 15722  df-mulr 15723  df-starv 15724  df-sca 15725  df-vsca 15726  df-ip 15727  df-tset 15728  df-ple 15729  df-ds 15732  df-unif 15733  df-hom 15734  df-cco 15735  df-rest 15847  df-topn 15848  df-0g 15866  df-gsum 15867  df-topgen 15868  df-pt 15869  df-prds 15872  df-ordt 15925  df-xrs 15926  df-qtop 15931  df-imas 15932  df-xps 15934  df-mre 16010  df-mrc 16011  df-acs 16013  df-ps 16964  df-tsr 16965  df-plusf 17005  df-mgm 17006  df-sgrp 17048  df-mnd 17059  df-mhm 17099  df-submnd 17100  df-grp 17189  df-minusg 17190  df-sbg 17191  df-mulg 17305  df-subg 17355  df-cntz 17514  df-cmn 17959  df-abl 17960  df-mgp 18254  df-ur 18266  df-ring 18313  df-cring 18314  df-subrg 18542  df-abv 18581  df-lmod 18629  df-scaf 18630  df-sra 18934  df-rgmod 18935  df-psmet 19500  df-xmet 19501  df-met 19502  df-bl 19503  df-mopn 19504  df-fbas 19505  df-fg 19506  df-cnfld 19509  df-top 20458  df-bases 20459  df-topon 20460  df-topsp 20461  df-cld 20570  df-ntr 20571  df-cls 20572  df-nei 20649  df-lp 20687  df-perf 20688  df-cn 20778  df-cnp 20779  df-haus 20866  df-tx 21112  df-hmeo 21305  df-fil 21397  df-fm 21489  df-flim 21490  df-flf 21491  df-tmd 21623  df-tgp 21624  df-tsms 21677  df-trg 21710  df-xms 21871  df-ms 21872  df-tms 21873  df-nm 22133  df-ngp 22134  df-nrg 22136  df-nlm 22137  df-ii 22414  df-cncf 22415  df-limc 23348  df-dv 23349  df-log 24019  df-esum 29218  df-carsg 29492
This theorem is referenced by:  carsggect  29508  carsgclctunlem2  29509
  Copyright terms: Public domain W3C validator