Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  carsgclctunlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem carsgclctunlem3 29511
Description: Lemma for carsgclctun 29512. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carsgval.1 (𝜑𝑂𝑉)
carsgval.2 (𝜑𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
carsgsiga.1 (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
carsgsiga.2 ((𝜑𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀 𝑥) ≤ Σ*𝑦𝑥(𝑀𝑦))
carsgsiga.3 ((𝜑𝑥𝑦𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀𝑥) ≤ (𝑀𝑦))
carsgclctun.1 (𝜑𝐴 ≼ ω)
carsgclctun.2 (𝜑𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
carsgclctunlem3.1 (𝜑𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
Assertion
Ref Expression
carsgclctunlem3 (𝜑 → ((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) ≤ (𝑀𝐸))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐸,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑂,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem carsgclctunlem3
Dummy variables 𝑒 𝑓 𝑘 𝑛 𝑧 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccssxr 12079 . . . . . . 7 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2 carsgval.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
3 carsgclctunlem3.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
43elpwincl1 28543 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐸 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
52, 4ffvelrnd 6249 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀‘(𝐸 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
61, 5sseldi 3561 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝐸 𝐴)) ∈ ℝ*)
73elpwdifcl 28544 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐸 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
82, 7ffvelrnd 6249 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀‘(𝐸 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
91, 8sseldi 3561 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝐸 𝐴)) ∈ ℝ*)
106, 9xaddcld 11956 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) ∈ ℝ*)
1110adantr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) = +∞) → ((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) ∈ ℝ*)
12 pnfge 11797 . . . 4 (((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) ∈ ℝ* → ((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) ≤ +∞)
1311, 12syl 17 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) = +∞) → ((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) ≤ +∞)
14 simpr 475 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) = +∞) → (𝑀𝐸) = +∞)
1513, 14breqtrrd 4601 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) = +∞) → ((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) ≤ (𝑀𝐸))
16 unieq 4370 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
17 uni0 4391 . . . . . . . . . . . . 13 ∅ = ∅
1816, 17syl6eq 2655 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
1918ineq2d 3771 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = ∅ → (𝐸 𝐴) = (𝐸 ∩ ∅))
20 in0 3915 . . . . . . . . . . 11 (𝐸 ∩ ∅) = ∅
2119, 20syl6eq 2655 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = ∅ → (𝐸 𝐴) = ∅)
2221fveq2d 6088 . . . . . . . . 9 (𝐴 = ∅ → (𝑀‘(𝐸 𝐴)) = (𝑀‘∅))
2318difeq2d 3685 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = ∅ → (𝐸 𝐴) = (𝐸 ∖ ∅))
24 dif0 3899 . . . . . . . . . . 11 (𝐸 ∖ ∅) = 𝐸
2523, 24syl6eq 2655 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = ∅ → (𝐸 𝐴) = 𝐸)
2625fveq2d 6088 . . . . . . . . 9 (𝐴 = ∅ → (𝑀‘(𝐸 𝐴)) = (𝑀𝐸))
2722, 26oveq12d 6541 . . . . . . . 8 (𝐴 = ∅ → ((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) = ((𝑀‘∅) +𝑒 (𝑀𝐸)))
2827adantl 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 = ∅) → ((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) = ((𝑀‘∅) +𝑒 (𝑀𝐸)))
29 carsgsiga.1 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
3029adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 = ∅) → (𝑀‘∅) = 0)
3130oveq1d 6538 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 = ∅) → ((𝑀‘∅) +𝑒 (𝑀𝐸)) = (0 +𝑒 (𝑀𝐸)))
322, 3ffvelrnd 6249 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀𝐸) ∈ (0[,]+∞))
331, 32sseldi 3561 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀𝐸) ∈ ℝ*)
3433adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 = ∅) → (𝑀𝐸) ∈ ℝ*)
35 xaddid2 11901 . . . . . . . 8 ((𝑀𝐸) ∈ ℝ* → (0 +𝑒 (𝑀𝐸)) = (𝑀𝐸))
3634, 35syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 = ∅) → (0 +𝑒 (𝑀𝐸)) = (𝑀𝐸))
3728, 31, 363eqtrd 2643 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = ∅) → ((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) = (𝑀𝐸))
3837, 34eqeltrd 2683 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 = ∅) → ((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) ∈ ℝ*)
39 xeqlelt 28730 . . . . . . 7 ((((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) ∈ ℝ* ∧ (𝑀𝐸) ∈ ℝ*) → (((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) = (𝑀𝐸) ↔ (((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) ≤ (𝑀𝐸) ∧ ¬ ((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) < (𝑀𝐸))))
4038, 34, 39syl2anc 690 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = ∅) → (((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) = (𝑀𝐸) ↔ (((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) ≤ (𝑀𝐸) ∧ ¬ ((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) < (𝑀𝐸))))
4137, 40mpbid 220 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = ∅) → (((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) ≤ (𝑀𝐸) ∧ ¬ ((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) < (𝑀𝐸)))
4241simpld 473 . . . 4 ((𝜑𝐴 = ∅) → ((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) ≤ (𝑀𝐸))
4342adantlr 746 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) ≤ (𝑀𝐸))
44 carsgclctun.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
45 fvex 6094 . . . . . . . . 9 (toCaraSiga‘𝑀) ∈ V
4645ssex 4721 . . . . . . . 8 (𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀) → 𝐴 ∈ V)
47 0sdomg 7947 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
4844, 46, 473syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
4948biimpar 500 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → ∅ ≺ 𝐴)
5049adantlr 746 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ≺ 𝐴)
51 carsgclctun.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ≼ ω)
52 nnenom 12592 . . . . . . . 8 ℕ ≈ ω
5352ensymi 7865 . . . . . . 7 ω ≈ ℕ
54 domentr 7874 . . . . . . 7 ((𝐴 ≼ ω ∧ ω ≈ ℕ) → 𝐴 ≼ ℕ)
5551, 53, 54sylancl 692 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ≼ ℕ)
5655ad2antrr 757 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≼ ℕ)
57 fodomr 7969 . . . . 5 ((∅ ≺ 𝐴𝐴 ≼ ℕ) → ∃𝑓 𝑓:ℕ–onto𝐴)
5850, 56, 57syl2anc 690 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑓 𝑓:ℕ–onto𝐴)
59 fveq2 6084 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → (𝑓𝑛) = (𝑓𝑘))
6059iundisj 23036 . . . . . . . . 9 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛) = 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑘))
61 fofn 6011 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:ℕ–onto𝐴𝑓 Fn ℕ)
62 fniunfv 6383 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 Fn ℕ → 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛) = ran 𝑓)
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:ℕ–onto𝐴 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛) = ran 𝑓)
64 forn 6012 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:ℕ–onto𝐴 → ran 𝑓 = 𝐴)
6564unieqd 4372 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:ℕ–onto𝐴 ran 𝑓 = 𝐴)
6663, 65eqtrd 2639 . . . . . . . . . 10 (𝑓:ℕ–onto𝐴 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛) = 𝐴)
6766adantl 480 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) → 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛) = 𝐴)
6860, 67syl5eqr 2653 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) → 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑘)) = 𝐴)
6968ineq2d 3771 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) → (𝐸 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑘))) = (𝐸 𝐴))
7069fveq2d 6088 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) → (𝑀‘(𝐸 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑘)))) = (𝑀‘(𝐸 𝐴)))
7168difeq2d 3685 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) → (𝐸 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑘))) = (𝐸 𝐴))
7271fveq2d 6088 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) → (𝑀‘(𝐸 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑘)))) = (𝑀‘(𝐸 𝐴)))
7370, 72oveq12d 6541 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) → ((𝑀‘(𝐸 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑘)))) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑘))))) = ((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))))
74 carsgval.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑂𝑉)
7574ad3antrrr 761 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) → 𝑂𝑉)
762ad3antrrr 761 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
7729ad3antrrr 761 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) → (𝑀‘∅) = 0)
78 carsgsiga.2 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀 𝑥) ≤ Σ*𝑦𝑥(𝑀𝑦))
79783adant1r 1310 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀 𝑥) ≤ Σ*𝑦𝑥(𝑀𝑦))
80793adant1r 1310 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀 𝑥) ≤ Σ*𝑦𝑥(𝑀𝑦))
81803adant1r 1310 . . . . . 6 (((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀 𝑥) ≤ Σ*𝑦𝑥(𝑀𝑦))
82 carsgsiga.3 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑦𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀𝑥) ≤ (𝑀𝑦))
83823adant1r 1310 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝑥𝑦𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀𝑥) ≤ (𝑀𝑦))
84833adant1r 1310 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑦𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀𝑥) ≤ (𝑀𝑦))
85843adant1r 1310 . . . . . 6 (((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑥𝑦𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀𝑥) ≤ (𝑀𝑦))
8659iundisj2 23037 . . . . . . 7 Disj 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑘))
8786a1i 11 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) → Disj 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑘)))
8875adantr 479 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑂𝑉)
8976adantr 479 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
9044ad4antr 763 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
91 fof 6009 . . . . . . . . . 10 (𝑓:ℕ–onto𝐴𝑓:ℕ⟶𝐴)
9291ad2antlr 758 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑓:ℕ⟶𝐴)
93 simpr 475 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
9492, 93ffvelrnd 6249 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑓𝑛) ∈ 𝐴)
9590, 94sseldd 3564 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑓𝑛) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
9677adantr 479 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀‘∅) = 0)
97813adant1r 1310 . . . . . . . 8 ((((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀 𝑥) ≤ Σ*𝑦𝑥(𝑀𝑦))
9888, 89, 96, 97carsgsigalem 29506 . . . . . . 7 ((((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑔 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒𝑔)) ≤ ((𝑀𝑒) +𝑒 (𝑀𝑔)))
9991ad3antlr 762 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)) → 𝑓:ℕ⟶𝐴)
100 fzossnn 12335 . . . . . . . . . . . . 13 (1..^𝑛) ⊆ ℕ
101100a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1..^𝑛) ⊆ ℕ)
102101sselda 3563 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
10399, 102ffvelrnd 6249 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)) → (𝑓𝑘) ∈ 𝐴)
104103ralrimiva 2944 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑘) ∈ 𝐴)
105 dfiun2g 4478 . . . . . . . . 9 (∀𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑘) ∈ 𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑘) = {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (𝑓𝑘)})
106104, 105syl 17 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑘) = {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (𝑓𝑘)})
107 eqid 2605 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓𝑘)) = (𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓𝑘))
108107rnmpt 5275 . . . . . . . . . . 11 ran (𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓𝑘)) = {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (𝑓𝑘)}
109 fzofi 12586 . . . . . . . . . . . 12 (1..^𝑛) ∈ Fin
110 mptfi 8121 . . . . . . . . . . . 12 ((1..^𝑛) ∈ Fin → (𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓𝑘)) ∈ Fin)
111 rnfi 8105 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓𝑘)) ∈ Fin → ran (𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓𝑘)) ∈ Fin)
112109, 110, 111mp2b 10 . . . . . . . . . . 11 ran (𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓𝑘)) ∈ Fin
113108, 112eqeltrri 2680 . . . . . . . . . 10 {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (𝑓𝑘)} ∈ Fin
114113a1i 11 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (𝑓𝑘)} ∈ Fin)
11590adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)) → 𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
116115, 103sseldd 3564 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)) → (𝑓𝑘) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
117116ralrimiva 2944 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑘) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
118107rnmptss 6280 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑘) ∈ (toCaraSiga‘𝑀) → ran (𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓𝑘)) ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
119117, 118syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ran (𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓𝑘)) ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
120108, 119syl5eqssr 3608 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (𝑓𝑘)} ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
12188, 89, 96, 97, 114, 120fiunelcarsg 29507 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (𝑓𝑘)} ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
122106, 121eqeltrd 2683 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑘) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
12388, 89, 95, 98, 122difelcarsg2 29504 . . . . . 6 (((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑓𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑘)) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
1243ad3antrrr 761 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
125 simpllr 794 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) → (𝑀𝐸) ≠ +∞)
12675, 76, 77, 81, 85, 87, 123, 124, 125carsgclctunlem2 29510 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) → ((𝑀‘(𝐸 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑘)))) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑘))))) ≤ (𝑀𝐸))
12773, 126eqbrtrrd 4597 . . . 4 ((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) → ((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) ≤ (𝑀𝐸))
12858, 127exlimddv 1848 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) ≤ (𝑀𝐸))
12943, 128pm2.61dane 2864 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) → ((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) ≤ (𝑀𝐸))
13015, 129pm2.61dane 2864 1 (𝜑 → ((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) ≤ (𝑀𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wex 1694  wcel 1975  {cab 2591  wne 2775  wral 2891  wrex 2892  Vcvv 3168  cdif 3532  cin 3534  wss 3535  c0 3869  𝒫 cpw 4103   cuni 4362   ciun 4445  Disj wdisj 4543   class class class wbr 4573  cmpt 4633  ran crn 5025   Fn wfn 5781  wf 5782  ontowfo 5784  cfv 5786  (class class class)co 6523  ωcom 6930  cen 7811  cdom 7812  csdm 7813  Fincfn 7814  0cc0 9788  1c1 9789  +∞cpnf 9923  *cxr 9925   < clt 9926  cle 9927  cn 10863   +𝑒 cxad 11772  [,]cicc 12001  ..^cfzo 12285  Σ*cesum 29218  toCaraSigaccarsg 29492
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-inf2 8394  ax-ac2 9141  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865  ax-pre-sup 9866  ax-addf 9867  ax-mulf 9868
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-iin 4448  df-disj 4544  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-se 4984  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-isom 5795  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-of 6768  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-supp 7156  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-2o 7421  df-oadd 7424  df-er 7602  df-map 7719  df-pm 7720  df-ixp 7768  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-fsupp 8132  df-fi 8173  df-sup 8204  df-inf 8205  df-oi 8271  df-card 8621  df-acn 8624  df-ac 8795  df-cda 8846  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-div 10530  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-4 10924  df-5 10925  df-6 10926  df-7 10927  df-8 10928  df-9 10929  df-n0 11136  df-z 11207  df-dec 11322  df-uz 11516  df-q 11617  df-rp 11661  df-xneg 11774  df-xadd 11775  df-xmul 11776  df-ioo 12002  df-ioc 12003  df-ico 12004  df-icc 12005  df-fz 12149  df-fzo 12286  df-fl 12406  df-mod 12482  df-seq 12615  df-exp 12674  df-fac 12874  df-bc 12903  df-hash 12931  df-shft 13597  df-cj 13629  df-re 13630  df-im 13631  df-sqrt 13765  df-abs 13766  df-limsup 13992  df-clim 14009  df-rlim 14010  df-sum 14207  df-ef 14579  df-sin 14581  df-cos 14582  df-pi 14584  df-struct 15639  df-ndx 15640  df-slot 15641  df-base 15642  df-sets 15643  df-ress 15644  df-plusg 15723  df-mulr 15724  df-starv 15725  df-sca 15726  df-vsca 15727  df-ip 15728  df-tset 15729  df-ple 15730  df-ds 15733  df-unif 15734  df-hom 15735  df-cco 15736  df-rest 15848  df-topn 15849  df-0g 15867  df-gsum 15868  df-topgen 15869  df-pt 15870  df-prds 15873  df-ordt 15926  df-xrs 15927  df-qtop 15932  df-imas 15933  df-xps 15935  df-mre 16011  df-mrc 16012  df-acs 16014  df-ps 16965  df-tsr 16966  df-plusf 17006  df-mgm 17007  df-sgrp 17049  df-mnd 17060  df-mhm 17100  df-submnd 17101  df-grp 17190  df-minusg 17191  df-sbg 17192  df-mulg 17306  df-subg 17356  df-cntz 17515  df-cmn 17960  df-abl 17961  df-mgp 18255  df-ur 18267  df-ring 18314  df-cring 18315  df-subrg 18543  df-abv 18582  df-lmod 18630  df-scaf 18631  df-sra 18935  df-rgmod 18936  df-psmet 19501  df-xmet 19502  df-met 19503  df-bl 19504  df-mopn 19505  df-fbas 19506  df-fg 19507  df-cnfld 19510  df-top 20459  df-bases 20460  df-topon 20461  df-topsp 20462  df-cld 20571  df-ntr 20572  df-cls 20573  df-nei 20650  df-lp 20688  df-perf 20689  df-cn 20779  df-cnp 20780  df-haus 20867  df-tx 21113  df-hmeo 21306  df-fil 21398  df-fm 21490  df-flim 21491  df-flf 21492  df-tmd 21624  df-tgp 21625  df-tsms 21678  df-trg 21711  df-xms 21872  df-ms 21873  df-tms 21874  df-nm 22134  df-ngp 22135  df-nrg 22137  df-nlm 22138  df-ii 22415  df-cncf 22416  df-limc 23349  df-dv 23350  df-log 24020  df-esum 29219  df-carsg 29493
This theorem is referenced by:  carsgclctun  29512
  Copyright terms: Public domain W3C validator