Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  carsgval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem carsgval 30170
Description: Value of the Caratheodory sigma-Algebra construction function. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carsgval.1 (𝜑𝑂𝑉)
carsgval.2 (𝜑𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
carsgval (𝜑 → (toCaraSiga‘𝑀) = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝑎))) = (𝑀𝑒)})
Distinct variable groups:   𝑀,𝑎,𝑒   𝑂,𝑎,𝑒   𝜑,𝑎,𝑒
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑒,𝑎)

Proof of Theorem carsgval
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-carsg 30169 . . 3 toCaraSiga = (𝑚 ∈ V ↦ {𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑚 ∣ ∀𝑒 ∈ 𝒫 dom 𝑚((𝑚‘(𝑒𝑎)) +𝑒 (𝑚‘(𝑒𝑎))) = (𝑚𝑒)})
21a1i 11 . 2 (𝜑 → toCaraSiga = (𝑚 ∈ V ↦ {𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑚 ∣ ∀𝑒 ∈ 𝒫 dom 𝑚((𝑚‘(𝑒𝑎)) +𝑒 (𝑚‘(𝑒𝑎))) = (𝑚𝑒)}))
3 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 = 𝑀) → 𝑚 = 𝑀)
43dmeqd 5291 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 = 𝑀) → dom 𝑚 = dom 𝑀)
5 carsgval.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
6 fdm 6013 . . . . . . . . 9 (𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞) → dom 𝑀 = 𝒫 𝑂)
75, 6syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom 𝑀 = 𝒫 𝑂)
87adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 = 𝑀) → dom 𝑀 = 𝒫 𝑂)
94, 8eqtrd 2655 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 = 𝑀) → dom 𝑚 = 𝒫 𝑂)
109unieqd 4417 . . . . 5 ((𝜑𝑚 = 𝑀) → dom 𝑚 = 𝒫 𝑂)
11 unipw 4884 . . . . 5 𝒫 𝑂 = 𝑂
1210, 11syl6eq 2671 . . . 4 ((𝜑𝑚 = 𝑀) → dom 𝑚 = 𝑂)
1312pweqd 4140 . . 3 ((𝜑𝑚 = 𝑀) → 𝒫 dom 𝑚 = 𝒫 𝑂)
14 fveq1 6152 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑀 → (𝑚‘(𝑒𝑎)) = (𝑀‘(𝑒𝑎)))
15 fveq1 6152 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑀 → (𝑚‘(𝑒𝑎)) = (𝑀‘(𝑒𝑎)))
1614, 15oveq12d 6628 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑀 → ((𝑚‘(𝑒𝑎)) +𝑒 (𝑚‘(𝑒𝑎))) = ((𝑀‘(𝑒𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝑎))))
17 fveq1 6152 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑀 → (𝑚𝑒) = (𝑀𝑒))
1816, 17eqeq12d 2636 . . . . 5 (𝑚 = 𝑀 → (((𝑚‘(𝑒𝑎)) +𝑒 (𝑚‘(𝑒𝑎))) = (𝑚𝑒) ↔ ((𝑀‘(𝑒𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝑎))) = (𝑀𝑒)))
1918adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑚 = 𝑀) → (((𝑚‘(𝑒𝑎)) +𝑒 (𝑚‘(𝑒𝑎))) = (𝑚𝑒) ↔ ((𝑀‘(𝑒𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝑎))) = (𝑀𝑒)))
2013, 19raleqbidv 3144 . . 3 ((𝜑𝑚 = 𝑀) → (∀𝑒 ∈ 𝒫 dom 𝑚((𝑚‘(𝑒𝑎)) +𝑒 (𝑚‘(𝑒𝑎))) = (𝑚𝑒) ↔ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝑎))) = (𝑀𝑒)))
2113, 20rabeqbidv 3184 . 2 ((𝜑𝑚 = 𝑀) → {𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑚 ∣ ∀𝑒 ∈ 𝒫 dom 𝑚((𝑚‘(𝑒𝑎)) +𝑒 (𝑚‘(𝑒𝑎))) = (𝑚𝑒)} = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝑎))) = (𝑀𝑒)})
22 carsgval.1 . . . 4 (𝜑𝑂𝑉)
23 pwexg 4815 . . . 4 (𝑂𝑉 → 𝒫 𝑂 ∈ V)
2422, 23syl 17 . . 3 (𝜑 → 𝒫 𝑂 ∈ V)
25 fex 6450 . . 3 ((𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞) ∧ 𝒫 𝑂 ∈ V) → 𝑀 ∈ V)
265, 24, 25syl2anc 692 . 2 (𝜑𝑀 ∈ V)
27 rabexg 4777 . . 3 (𝒫 𝑂 ∈ V → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝑎))) = (𝑀𝑒)} ∈ V)
2822, 23, 273syl 18 . 2 (𝜑 → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝑎))) = (𝑀𝑒)} ∈ V)
292, 21, 26, 28fvmptd 6250 1 (𝜑 → (toCaraSiga‘𝑀) = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝑎))) = (𝑀𝑒)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  {crab 2911  Vcvv 3189  cdif 3556  cin 3558  𝒫 cpw 4135   cuni 4407  cmpt 4678  dom cdm 5079  wf 5848  cfv 5852  (class class class)co 6610  0cc0 9888  +∞cpnf 10023   +𝑒 cxad 11896  [,]cicc 12128  toCaraSigaccarsg 30168
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-ov 6613  df-carsg 30169
This theorem is referenced by:  carsgcl  30171  elcarsg  30172
  Copyright terms: Public domain W3C validator