MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cats1cat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cats1cat 13405
Description: Closure of concatenation with a singleton word. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cats1cld.1 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)
cats1cat.2 𝐴 ∈ Word V
cats1cat.3 𝑆 ∈ Word V
cats1cat.4 𝐶 = (𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩)
cats1cat.5 𝐵 = (𝐴 ++ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
cats1cat 𝐶 = (𝐴 ++ 𝑇)

Proof of Theorem cats1cat
StepHypRef Expression
1 cats1cat.5 . . . 4 𝐵 = (𝐴 ++ 𝑆)
21oveq1i 6536 . . 3 (𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) = ((𝐴 ++ 𝑆) ++ ⟨“𝑋”⟩)
3 cats1cat.2 . . . 4 𝐴 ∈ Word V
4 cats1cat.3 . . . 4 𝑆 ∈ Word V
5 s1cli 13185 . . . 4 ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V
6 ccatass 13172 . . . 4 ((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝑆 ∈ Word V ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V) → ((𝐴 ++ 𝑆) ++ ⟨“𝑋”⟩) = (𝐴 ++ (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)))
73, 4, 5, 6mp3an 1415 . . 3 ((𝐴 ++ 𝑆) ++ ⟨“𝑋”⟩) = (𝐴 ++ (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩))
82, 7eqtri 2631 . 2 (𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) = (𝐴 ++ (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩))
9 cats1cat.4 . 2 𝐶 = (𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩)
10 cats1cld.1 . . 3 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)
1110oveq2i 6537 . 2 (𝐴 ++ 𝑇) = (𝐴 ++ (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩))
128, 9, 113eqtr4i 2641 1 𝐶 = (𝐴 ++ 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1474  wcel 1976  Vcvv 3172  (class class class)co 6526  Word cword 13094   ++ cconcat 13096  ⟨“cs1 13097
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10870  df-n0 11142  df-z 11213  df-uz 11522  df-fz 12155  df-fzo 12292  df-hash 12937  df-word 13102  df-concat 13104  df-s1 13105
This theorem is referenced by:  s1s2  13466  s1s3  13467  s1s4  13468  s1s5  13469  s1s6  13470  s1s7  13471  s2s2  13472  s4s2  13473  s4s3  13474  s4s4  13475
  Copyright terms: Public domain W3C validator