Theorem cats1fvn 13403

Description: The last symbol of a concatenation with a singleton word. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cats1cld.1	⊢ 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)
cats1cli.2	⊢ 𝑆 ∈ Word V
cats1fvn.3	⊢ (#‘𝑆) = 𝑀

Assertion

Ref	Expression
cats1fvn	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑇‘𝑀) = 𝑋)

Proof of Theorem cats1fvn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cats1cld.1	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)
2		cats1fvn.3	. . . . . 6 ⊢ (#‘𝑆) = 𝑀
3	2	oveq2i 6538	. . . . 5 ⊢ (0 + (#‘𝑆)) = (0 + 𝑀)
4		cats1cli.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 ∈ Word V
5		lencl 13128	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ Word V → (#‘𝑆) ∈ ℕ0)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (#‘𝑆) ∈ ℕ0
7	2, 6	eqeltrri 2685	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
8	7	nn0cni 11154	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
9	8	addid2i 10076	. . . . 5 ⊢ (0 + 𝑀) = 𝑀
10	3, 9	eqtr2i 2633	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (0 + (#‘𝑆))
11	1, 10	fveq12i 6093	. . 3 ⊢ (𝑇‘𝑀) = ((𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘(0 + (#‘𝑆)))
12		s1cli 13186	. . . 4 ⊢ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V
13		s1len 13187	. . . . . 6 ⊢ (#‘⟨“𝑋”⟩) = 1
14		1nn 10881	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
15	13, 14	eqeltri 2684	. . . . 5 ⊢ (#‘⟨“𝑋”⟩) ∈ ℕ
16		lbfzo0 12333	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ (0..^(#‘⟨“𝑋”⟩)) ↔ (#‘⟨“𝑋”⟩) ∈ ℕ)
17	15, 16	mpbir 220	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0..^(#‘⟨“𝑋”⟩))
18		ccatval3 13165	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word V ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V ∧ 0 ∈ (0..^(#‘⟨“𝑋”⟩))) → ((𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘(0 + (#‘𝑆))) = (⟨“𝑋”⟩‘0))
19	4, 12, 17, 18	mp3an 1416	. . 3 ⊢ ((𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘(0 + (#‘𝑆))) = (⟨“𝑋”⟩‘0)
20	11, 19	eqtri 2632	. 2 ⊢ (𝑇‘𝑀) = (⟨“𝑋”⟩‘0)
21		s1fv 13192	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (⟨“𝑋”⟩‘0) = 𝑋)
22	20, 21	syl5eq 2656	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑇‘𝑀) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  ‘cfv 5790  (class class class)co 6527  0cc0 9793  1c1 9794   + caddc 9796  ℕcn 10870  ℕ₀cn0 11142  ..^cfzo 12292  #chash 12937  Word cword 13095   ++ cconcat 13097  ⟨“cs1 13098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4694  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-int 4406  df-iun 4452  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-oadd 7429  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-card 8626  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-nn 10871  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-fz 12156  df-fzo 12293  df-hash 12938  df-word 13103  df-concat 13105  df-s1 13106

This theorem is referenced by:  s2fv1  13432  s3fv2  13437  s4fv3  13442