Theorem cats1fvn 13823

Description: The last symbol of a concatenation with a singleton word. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cats1cld.1	⊢ 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)
cats1cli.2	⊢ 𝑆 ∈ Word V
cats1fvn.3	⊢ (♯‘𝑆) = 𝑀

Assertion

Ref	Expression
cats1fvn	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑇‘𝑀) = 𝑋)

Proof of Theorem cats1fvn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cats1cld.1	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)
2		cats1fvn.3	. . . . . 6 ⊢ (♯‘𝑆) = 𝑀
3	2	oveq2i 6825	. . . . 5 ⊢ (0 + (♯‘𝑆)) = (0 + 𝑀)
4		cats1cli.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 ∈ Word V
5		lencl 13530	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ Word V → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘𝑆) ∈ ℕ0
7	2, 6	eqeltrri 2836	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
8	7	nn0cni 11516	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
9	8	addid2i 10436	. . . . 5 ⊢ (0 + 𝑀) = 𝑀
10	3, 9	eqtr2i 2783	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (0 + (♯‘𝑆))
11	1, 10	fveq12i 6358	. . 3 ⊢ (𝑇‘𝑀) = ((𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘(0 + (♯‘𝑆)))
12		s1cli 13595	. . . 4 ⊢ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V
13		s1len 13596	. . . . . 6 ⊢ (♯‘⟨“𝑋”⟩) = 1
14		1nn 11243	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
15	13, 14	eqeltri 2835	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“𝑋”⟩) ∈ ℕ
16		lbfzo0 12722	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝑋”⟩)) ↔ (♯‘⟨“𝑋”⟩) ∈ ℕ)
17	15, 16	mpbir 221	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝑋”⟩))
18		ccatval3 13571	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word V ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝑋”⟩))) → ((𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘(0 + (♯‘𝑆))) = (⟨“𝑋”⟩‘0))
19	4, 12, 17, 18	mp3an 1573	. . 3 ⊢ ((𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘(0 + (♯‘𝑆))) = (⟨“𝑋”⟩‘0)
20	11, 19	eqtri 2782	. 2 ⊢ (𝑇‘𝑀) = (⟨“𝑋”⟩‘0)
21		s1fv 13601	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (⟨“𝑋”⟩‘0) = 𝑋)
22	20, 21	syl5eq 2806	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑇‘𝑀) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  Vcvv 3340  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151  ℕcn 11232  ℕ₀cn0 11504  ..^cfzo 12679  ♯chash 13331  Word cword 13497   ++ cconcat 13499  ⟨“cs1 13500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-card 8975  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-hash 13332  df-word 13505  df-concat 13507  df-s1 13508

This theorem is referenced by:  s2fv1  13853  s3fv2  13858  s4fv3  13863