Theorem cau3lem 14717

Description: Lemma for cau3 14718. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cau3lem.1	⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
cau3lem.2	⊢ (𝜏 → 𝜓)
cau3lem.3	⊢ ((𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗) → (𝜓 ↔ 𝜒))
cau3lem.4	⊢ ((𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑚) → (𝜓 ↔ 𝜃))
cau3lem.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜒 ∧ 𝜓) → (𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘))) = (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))))
cau3lem.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜃 ∧ 𝜒) → (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) = (𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))))
cau3lem.7	⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃) ∧ (𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (((𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) < (𝑥 / 2)) → (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
cau3lem	⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑚,𝜒   𝑥,𝑘,𝐷,𝑚   𝑘,𝐹,𝑚,𝑥   𝑗,𝑘,𝑚,𝑥,𝜑   𝑘,𝐺,𝑚,𝑥   𝜓,𝑚,𝑥   𝜏,𝑥   𝜃,𝑘   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑗,𝑘)   𝜒(𝑥,𝑗)   𝜃(𝑥,𝑗,𝑚)   𝜏(𝑗,𝑘,𝑚)   𝐷(𝑗)   𝐹(𝑗)   𝐺(𝑗)   𝑍(𝑗,𝑘,𝑚)

Proof of Theorem cau3lem

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5073	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥 ↔ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑧))
2	1	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ (𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑧)))
3	2	rexralbidv 3304	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑧)))
4	3	cbvralvw 3452	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑧))
5		rphalfcl 12419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
6		breq2 5073	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (𝑥 / 2) → ((𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑧 ↔ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)))
7	6	anbi2d 630	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑥 / 2) → ((𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑧) ↔ (𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2))))
8	7	rexralbidv 3304	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑥 / 2) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑧) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2))))
9	8	rspcv 3621	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 / 2) ∈ ℝ+ → (∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑧) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2))))
10	5, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑧) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2))))
11	10	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑧) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2))))
12		cau3lem.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜏 → 𝜓)
13	12	ralimi 3163	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜏 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓)
14		r19.26 3173	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)) ↔ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)))
15		fveq2 6673	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑚))
16		cau3lem.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑚) → (𝜓 ↔ 𝜃))
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝜓 ↔ 𝜃))
18	15	fvoveq1d 7181	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) = (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))))
19	18	breq1d 5079	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) ↔ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)))
20	17, 19	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)) ↔ (𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2))))
21	20	cbvralvw 3452	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)))
22	21	biimpi 218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)))
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2))))
24	14, 23	syl5bir 245	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2))))
25	24	expdimp 455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2))))
26		cau3lem.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
27	26	sseli 3966	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ ℤ)
28		uzid 12261	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
30		fveq2 6673	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
31		cau3lem.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗) → (𝜓 ↔ 𝜒))
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝜓 ↔ 𝜒))
33	32	rspcva 3624	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓) → 𝜒)
34	29, 33	sylan 582	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓) → 𝜒)
35	34	adantll 712	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓) → 𝜒)
36	25, 35	jctild 528	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) → (𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)))))
37		simplll 773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ 𝜃)) ∧ 𝜓) → 𝜑)
38		simplrr 776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ 𝜃)) ∧ 𝜓) → 𝜃)
39		simplrl 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ 𝜃)) ∧ 𝜓) → 𝜒)
40		cau3lem.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜃 ∧ 𝜒) → (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) = (𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))))
41	37, 38, 39, 40	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ 𝜃)) ∧ 𝜓) → (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) = (𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))))
42	41	breq1d 5079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ 𝜃)) ∧ 𝜓) → ((𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) ↔ (𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) < (𝑥 / 2)))
43	42	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ 𝜃)) ∧ 𝜓) → (((𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)) ↔ ((𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) < (𝑥 / 2))))
44		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ 𝜃)) ∧ 𝜓) → 𝜓)
45		simpllr 774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ 𝜃)) ∧ 𝜓) → 𝑥 ∈ ℝ+)
46	45	rpred 12434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ 𝜃)) ∧ 𝜓) → 𝑥 ∈ ℝ)
47		cau3lem.7	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃) ∧ (𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (((𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) < (𝑥 / 2)) → (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
48	37, 44, 38, 39, 46, 47	syl122anc 1375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ 𝜃)) ∧ 𝜓) → (((𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) < (𝑥 / 2)) → (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
49	43, 48	sylbid 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ 𝜃)) ∧ 𝜓) → (((𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)) → (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
50	49	expd 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ 𝜃)) ∧ 𝜓) → ((𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) → ((𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) → (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
51	50	impr 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ 𝜃)) ∧ (𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2))) → ((𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) → (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
52	51	an32s 650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2))) ∧ (𝜒 ∧ 𝜃)) → ((𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) → (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
53	52	anassrs 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2))) ∧ 𝜒) ∧ 𝜃) → ((𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) → (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
54	53	expimpd 456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2))) ∧ 𝜒) → ((𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)) → (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
55	54	ralimdv 3181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2))) ∧ 𝜒) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
56	55	impr 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2))) ∧ (𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)))) → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥)
57	56	an32s 650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)))) ∧ (𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2))) → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥)
58	57	expr 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)))) ∧ 𝜓) → ((𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
59		uzss 12268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (ℤ≥‘𝑘) ⊆ (ℤ≥‘𝑗))
60		ssralv 4036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((ℤ≥‘𝑘) ⊆ (ℤ≥‘𝑗) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥 → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
61	59, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥 → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
62	58, 61	sylan9 510	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)))) ∧ 𝜓) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
63	62	an32s 650	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ 𝜓) → ((𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
64	63	expimpd 456	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
65	64	ralimdva 3180	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)))) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
66	65	ex 415	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2))) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
67	66	com23 86	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ((𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
68	67	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ((𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
69	14, 68	syl5bir 245	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ((𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
70	69	expdimp 455	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) → ((𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
71	36, 70	mpdd 43	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
72	13, 71	sylan2 594	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜏) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
73	72	imdistanda 574	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜏 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜏 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
74		r19.26 3173	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)) ↔ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜏 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)))
75		r19.26 3173	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥) ↔ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜏 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
76	73, 74, 75	3imtr4g 298	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
77	76	reximdva 3277	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
78	11, 77	syld 47	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑧) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
79	78	ralrimdva 3192	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑧) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
80	4, 79	syl5bi 244	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
81		fveq2 6673	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (ℤ≥‘𝑘) = (ℤ≥‘𝑗))
82	30	fvoveq1d 7181	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) = (𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))))
83	82	breq1d 5079	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥 ↔ (𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
84	81, 83	raleqbidv 3404	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
85	84	rspcv 3621	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥 → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
86	85	ad2antlr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥 → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
87		fveq2 6673	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑘))
88	87	oveq2d 7175	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚)) = ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘)))
89	88	fveq2d 6677	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) = (𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘))))
90	89	breq1d 5079	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥 ↔ (𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘))) < 𝑥))
91	90	cbvralvw 3452	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘))) < 𝑥)
92	33	anim2i 618	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓)) → (𝜑 ∧ 𝜒))
93	92	anassrs 470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓) → (𝜑 ∧ 𝜒))
94		simpr 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓)
95		cau3lem.5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜒 ∧ 𝜓) → (𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘))) = (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))))
96	95	breq1d 5079	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜒 ∧ 𝜓) → ((𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘))) < 𝑥 ↔ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
97	96	3expia 1117	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜒) → (𝜓 → ((𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘))) < 𝑥 ↔ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
98	97	ralimdv 3181	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜒) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘))) < 𝑥 ↔ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
99	93, 94, 98	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘))) < 𝑥 ↔ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
100		ralbi 3170	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘))) < 𝑥 ↔ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘))) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
101	99, 100	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘))) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
102	91, 101	syl5bb 285	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
103	86, 102	sylibd 241	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
104	13, 103	sylan2 594	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜏) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
105	104	imdistanda 574	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜏 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜏 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
106	29, 105	sylan2 594	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜏 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜏 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
107		r19.26 3173	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜏 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
108	106, 75, 107	3imtr4g 298	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
109	108	reximdva 3277	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
110	109	ralimdv 3181	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
111	80, 110	impbid 214	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐺‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ∀wral 3141  ∃wrex 3142   ⊆ wss 3939   class class class wbr 5069  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  ℝcr 10539   < clt 10678   / cdiv 11300  2c2 11695  ℤcz 11984  ℤ_≥cuz 12246  ℝ⁺crp 12392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-id 5463  df-po 5477  df-so 5478  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-2 11703  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393

This theorem is referenced by:  cau3  14718  iscau3  23884