MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cau4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cau4 13890
Description: Change the base of a Cauchy criterion. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cau3.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
cau4.2 𝑊 = (ℤ𝑁)
Assertion
Ref Expression
cau4 (𝑁𝑍 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝑗,𝑁,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥   𝑗,𝑊,𝑘,𝑥

Proof of Theorem cau4
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzel2 11524 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2 cau3.1 . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑀)
32rexuz3 13882 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑦))) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑦))) < 𝑥)))
41, 3syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑦))) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑦))) < 𝑥)))
5 eluzelz 11529 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
6 cau4.2 . . . . . . 7 𝑊 = (ℤ𝑁)
76rexuz3 13882 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑗𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑦))) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑦))) < 𝑥)))
85, 7syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (∃𝑗𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑦))) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑦))) < 𝑥)))
94, 8bitr4d 269 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑦))) < 𝑥) ↔ ∃𝑗𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑦))) < 𝑥)))
109, 2eleq2s 2705 . . 3 (𝑁𝑍 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑦))) < 𝑥) ↔ ∃𝑗𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑦))) < 𝑥)))
1110ralbidv 2968 . 2 (𝑁𝑍 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑦))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑦))) < 𝑥)))
122cau3 13889 . 2 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑦))) < 𝑥))
136cau3 13889 . 2 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑦))) < 𝑥))
1411, 12, 133bitr4g 301 1 (𝑁𝑍 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wral 2895  wrex 2896   class class class wbr 4577  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9790   < clt 9930  cmin 10117  cz 11210  cuz 11519  +crp 11664  abscabs 13768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-sup 8208  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-rp 11665  df-seq 12619  df-exp 12678  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770
This theorem is referenced by:  caurcvg2  14202  caucvgb  14204  cvgcmp  14335
  Copyright terms: Public domain W3C validator