Theorem cau4i 6932

Description: A relationship used to derive two ways to express a Cauchy sequence. φ is φ(j, k).

Hypotheses

Ref	Expression
cau4i.1	⊢ M ∈ ℤ
cau4i.2	⊢ Z = (ℤ≥ ‘M)

Assertion

Ref	Expression
cau4i	⊢ (∃j ∈ Z ∀k ∈ Z (j ≤ k → φ) → ∃j ∈ ℤ ∀k ∈ ℤ (j ≤ k → φ))

Distinct variable groups:   j,k,M   j,Z,k

Proof of Theorem cau4i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cau4i.2	. . . 4 ⊢ Z = (ℤ≥ ‘M)
2		rexeq1 1794	. . . 4 ⊢ (Z = (ℤ≥ ‘M) → (∃j ∈ Z ∀k ∈ Z (j ≤ k → φ) ↔ ∃j ∈ (ℤ≥ ‘M)∀k ∈ Z (j ≤ k → φ)))
3	1, 2	ax-mp 7	. . 3 ⊢ (∃j ∈ Z ∀k ∈ Z (j ≤ k → φ) ↔ ∃j ∈ (ℤ≥ ‘M)∀k ∈ Z (j ≤ k → φ))
4		cau4i.1	. . . 4 ⊢ M ∈ ℤ
5		rexuz 6394	. . . 4 ⊢ (M ∈ ℤ → (∃j ∈ (ℤ≥ ‘M)∀k ∈ Z (j ≤ k → φ) ↔ ∃j ∈ ℤ (M ≤ j ⋀ ∀k ∈ Z (j ≤ k → φ))))
6	4, 5	ax-mp 7	. . 3 ⊢ (∃j ∈ (ℤ≥ ‘M)∀k ∈ Z (j ≤ k → φ) ↔ ∃j ∈ ℤ (M ≤ j ⋀ ∀k ∈ Z (j ≤ k → φ)))
7	3, 6	bitr 173	. 2 ⊢ (∃j ∈ Z ∀k ∈ Z (j ≤ k → φ) ↔ ∃j ∈ ℤ (M ≤ j ⋀ ∀k ∈ Z (j ≤ k → φ)))
8	4	zre 6147	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ M ∈ ℝ
9		letrt 5538	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((M ∈ ℝ ⋀ j ∈ ℝ ⋀ k ∈ ℝ) → ((M ≤ j ⋀ j ≤ k) → M ≤ k))
10	8, 9	mp3an1 907	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((j ∈ ℝ ⋀ k ∈ ℝ) → ((M ≤ j ⋀ j ≤ k) → M ≤ k))
11		zret 6145	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (j ∈ ℤ → j ∈ ℝ)
12		zret 6145	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (k ∈ ℤ → k ∈ ℝ)
13	10, 11, 12	syl2an 457	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((j ∈ ℤ ⋀ k ∈ ℤ) → ((M ≤ j ⋀ j ≤ k) → M ≤ k))
14	13	exp4b 381	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (j ∈ ℤ → (k ∈ ℤ → (M ≤ j → (j ≤ k → M ≤ k))))
15	14	com23 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ (j ∈ ℤ → (M ≤ j → (k ∈ ℤ → (j ≤ k → M ≤ k))))
16	15	imp31 362	. . . . . . . . 9 ⊢ (((j ∈ ℤ ⋀ M ≤ j) ⋀ k ∈ ℤ) → (j ≤ k → M ≤ k))
17	16	ancrd 299	. . . . . . . 8 ⊢ (((j ∈ ℤ ⋀ M ≤ j) ⋀ k ∈ ℤ) → (j ≤ k → (M ≤ k ⋀ j ≤ k)))
18	17	imim1d 28	. . . . . . 7 ⊢ (((j ∈ ℤ ⋀ M ≤ j) ⋀ k ∈ ℤ) → (((M ≤ k ⋀ j ≤ k) → φ) → (j ≤ k → φ)))
19		impexp 347	. . . . . . 7 ⊢ (((M ≤ k ⋀ j ≤ k) → φ) ↔ (M ≤ k → (j ≤ k → φ)))
20	18, 19	syl5ibr 207	. . . . . 6 ⊢ (((j ∈ ℤ ⋀ M ≤ j) ⋀ k ∈ ℤ) → ((M ≤ k → (j ≤ k → φ)) → (j ≤ k → φ)))
21	20	r19.20dva 1716	. . . . 5 ⊢ ((j ∈ ℤ ⋀ M ≤ j) → (∀k ∈ ℤ (M ≤ k → (j ≤ k → φ)) → ∀k ∈ ℤ (j ≤ k → φ)))
22		raleq1 1793	. . . . . . 7 ⊢ (Z = (ℤ≥ ‘M) → (∀k ∈ Z (j ≤ k → φ) ↔ ∀k ∈ (ℤ≥ ‘M)(j ≤ k → φ)))
23	1, 22	ax-mp 7	. . . . . 6 ⊢ (∀k ∈ Z (j ≤ k → φ) ↔ ∀k ∈ (ℤ≥ ‘M)(j ≤ k → φ))
24		raluz 6392	. . . . . . 7 ⊢ (M ∈ ℤ → (∀k ∈ (ℤ≥ ‘M)(j ≤ k → φ) ↔ ∀k ∈ ℤ (M ≤ k → (j ≤ k → φ))))
25	4, 24	ax-mp 7	. . . . . 6 ⊢ (∀k ∈ (ℤ≥ ‘M)(j ≤ k → φ) ↔ ∀k ∈ ℤ (M ≤ k → (j ≤ k → φ)))
26	23, 25	bitr 173	. . . . 5 ⊢ (∀k ∈ Z (j ≤ k → φ) ↔ ∀k ∈ ℤ (M ≤ k → (j ≤ k → φ)))
27	21, 26	syl5ib 206	. . . 4 ⊢ ((j ∈ ℤ ⋀ M ≤ j) → (∀k ∈ Z (j ≤ k → φ) → ∀k ∈ ℤ (j ≤ k → φ)))
28	27	expimpd 375	. . 3 ⊢ (j ∈ ℤ → ((M ≤ j ⋀ ∀k ∈ Z (j ≤ k → φ)) → ∀k ∈ ℤ (j ≤ k → φ)))
29	28	r19.22i 1739	. 2 ⊢ (∃j ∈ ℤ (M ≤ j ⋀ ∀k ∈ Z (j ≤ k → φ)) → ∃j ∈ ℤ ∀k ∈ ℤ (j ≤ k → φ))
30	7, 29	sylbi 199	1 ⊢ (∃j ∈ Z ∀k ∈ Z (j ≤ k → φ) → ∃j ∈ ℤ ∀k ∈ ℤ (j ≤ k → φ))

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   = wceq 960   ∈ wcel 962  ∀wral 1652  ∃wrex 1653   class class class wbr 2632   ‘cfv 3196  ℝcr 5246   ≤ cle 5308  ℤcz 5311  ℤ_≥cuz 6367

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 966  ax-gen 967  ax-8 968  ax-9 969  ax-10 970  ax-11 971  ax-12 972  ax-13 973  ax-14 974  ax-17 975  ax-4 977  ax-5o 979  ax-6o 982  ax-9o 1129  ax-10o 1146  ax-16 1216  ax-11o 1224  ax-ext 1466  ax-rep 2706  ax-sep 2716  ax-nul 2723  ax-pow 2756  ax-pr 2793  ax-un 2880  ax-inf2 4637

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 780  df-3an 781  df-ex 985  df-sb 1178  df-eu 1388  df-mo 1389  df-clab 1471  df-cleq 1476  df-clel 1479  df-ne 1594  df-nel 1595  df-ral 1656  df-rex 1657  df-reu 1658  df-rab 1659  df-v 1819  df-sbc 1949  df-csb 2010  df-dif 2058  df-un 2059  df-in 2060  df-ss 2062  df-pss 2064  df-nul 2290  df-if 2372  df-pw 2412  df-sn 2422  df-pr 2423  df-tp 2425  df-op 2426  df-uni 2516  df-int 2546  df-iun 2580  df-br 2633  df-opab 2680  df-tr 2694  df-eprel 2846  df-id 2849  df-po 2854  df-so 2864  df-fr 2931  df-we 2948  df-ord 2965  df-on 2966  df-lim 2967  df-suc 2968  df-om 3146  df-xp 3198  df-rel 3199  df-cnv 3200  df-co 3201  df-dm 3202  df-rn 3203  df-res 3204  df-ima 3205  df-fun 3206  df-fn 3207  df-f 3208  df-f1 3209  df-fo 3210  df-f1o 3211  df-fv 3212  df-rdg 3946  df-opr 3979  df-oprab 3980  df-1st 4093  df-2nd 4094  df-1o 4147  df-oadd 4149  df-omul 4150  df-er 4275  df-ec 4277  df-qs 4280  df-en 4382  df-dom 4383  df-sdom 4384  df-ni 5013  df-pli 5014  df-mi 5015  df-lti 5016  df-plpq 5048  df-mpq 5049  df-enq 5050  df-nq 5051  df-plq 5052  df-mq 5053  df-rq 5054  df-ltq 5055  df-1q 5056  df-np 5099  df-1p 5100  df-plp 5101  df-ltp 5103  df-enr 5179  df-nr 5180  df-ltr 5183  df-0r 5184  df-c 5253  df-r 5257  df-lt 5260  df-neg 5371  df-pnf 5500  df-mnf 5501  df-xr 5502  df-ltxr 5503  df-le 5504  df-z 6142  df-uz 6368

Copyright terms: Public domain