Theorem caucvg3lem 7180

Description: Lemma for caucvg3 7181.

Hypotheses

Ref	Expression
caucvg3lem.1	⊢ F:ℕ–→ℂ
caucvg3lem.2	⊢ ∀z ∈ ℝ (0 < z → ∃w ∈ ℕ ∀y ∈ ℕ (w < y → (abs ‘((F ‘y) − (F ‘w))) < z))
caucvg3lem.3	⊢ G Fn ℕ
caucvg3lem.4	⊢ (x ∈ ℕ → (G ‘x) = (ℜ ‘(F ‘x)))
caucvg3lem.5	⊢ H Fn ℕ
caucvg3lem.6	⊢ (x ∈ ℕ → (H ‘x) = (ℑ ‘(F ‘x)))
caucvg3lem.7	⊢ R Fn ℕ
caucvg3lem.8	⊢ (x ∈ ℕ → (R ‘x) = (i · (H ‘x)))

Assertion

Ref	Expression
caucvg3lem	⊢ ∃x ∈ ℂ F ⇝ x

Distinct variable groups:   x,F   x,y,z,w,G   x,H,y,z,w   x,R

Proof of Theorem caucvg3lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffnfv 3842	. . . 4 ⊢ (G:ℕ–→ℝ ↔ (G Fn ℕ ⋀ ∀x ∈ ℕ (G ‘x) ∈ ℝ))
2		caucvg3lem.3	. . . 4 ⊢ G Fn ℕ
3		caucvg3lem.4	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ ℕ → (G ‘x) = (ℜ ‘(F ‘x)))
4		caucvg3lem.1	. . . . . . . 8 ⊢ F:ℕ–→ℂ
5	4	ffvelrni 3829	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ ℕ → (F ‘x) ∈ ℂ)
6		reclt 6771	. . . . . . 7 ⊢ ((F ‘x) ∈ ℂ → (ℜ ‘(F ‘x)) ∈ ℝ)
7	5, 6	syl 10	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ ℕ → (ℜ ‘(F ‘x)) ∈ ℝ)
8	3, 7	eqeltrd 1555	. . . . 5 ⊢ (x ∈ ℕ → (G ‘x) ∈ ℝ)
9	8	rgen 1705	. . . 4 ⊢ ∀x ∈ ℕ (G ‘x) ∈ ℝ
10	1, 2, 9	mpbir2an 734	. . 3 ⊢ G:ℕ–→ℝ
11		caucvg3lem.2	. . . 4 ⊢ ∀z ∈ ℝ (0 < z → ∃w ∈ ℕ ∀y ∈ ℕ (w < y → (abs ‘((F ‘y) − (F ‘w))) < z))
12	4, 11, 2, 3	caure 6941	. . 3 ⊢ ∀z ∈ ℝ (0 < z → ∃w ∈ ℕ ∀y ∈ ℕ (w < y → (abs ‘((G ‘y) − (G ‘w))) < z))
13	10, 12	caucvg2 7179	. 2 ⊢ ∃v ∈ ℝ G ⇝ v
14		ffnfv 3842	. . . . 5 ⊢ (H:ℕ–→ℝ ↔ (H Fn ℕ ⋀ ∀x ∈ ℕ (H ‘x) ∈ ℝ))
15		caucvg3lem.5	. . . . 5 ⊢ H Fn ℕ
16		caucvg3lem.6	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ ℕ → (H ‘x) = (ℑ ‘(F ‘x)))
17		imclt 6772	. . . . . . . 8 ⊢ ((F ‘x) ∈ ℂ → (ℑ ‘(F ‘x)) ∈ ℝ)
18	5, 17	syl 10	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ ℕ → (ℑ ‘(F ‘x)) ∈ ℝ)
19	16, 18	eqeltrd 1555	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ ℕ → (H ‘x) ∈ ℝ)
20	19	rgen 1705	. . . . 5 ⊢ ∀x ∈ ℕ (H ‘x) ∈ ℝ
21	14, 15, 20	mpbir2an 734	. . . 4 ⊢ H:ℕ–→ℝ
22	4, 11, 15, 16	cauim 6942	. . . 4 ⊢ ∀z ∈ ℝ (0 < z → ∃w ∈ ℕ ∀y ∈ ℕ (w < y → (abs ‘((H ‘y) − (H ‘w))) < z))
23	21, 22	caucvg2 7179	. . 3 ⊢ ∃t ∈ ℝ H ⇝ t
24		axicn 5283	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
25		1z 6165	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
26		elnnuz 6390	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x ∈ ℕ ↔ x ∈ (ℤ≥ ‘1))
27	19	recnd 5328	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (x ∈ ℕ → (H ‘x) ∈ ℂ)
28		caucvg3lem.8	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (x ∈ ℕ → (R ‘x) = (i · (H ‘x)))
29	27, 28	jca 288	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x ∈ ℕ → ((H ‘x) ∈ ℂ ⋀ (R ‘x) = (i · (H ‘x))))
30	26, 29	sylbir 201	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x ∈ (ℤ≥ ‘1) → ((H ‘x) ∈ ℂ ⋀ (R ‘x) = (i · (H ‘x))))
31	30	rgen 1705	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀x ∈ (ℤ≥ ‘1)((H ‘x) ∈ ℂ ⋀ (R ‘x) = (i · (H ‘x)))
32	25, 31	pm3.2i 285	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ ⋀ ∀x ∈ (ℤ≥ ‘1)((H ‘x) ∈ ℂ ⋀ (R ‘x) = (i · (H ‘x))))
33		nnex 5939	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ ∈ V
34		fnex 3621	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((H Fn ℕ ⋀ ℕ ∈ V) → H ∈ V)
35	15, 33, 34	mp2an 701	. . . . . . . . 9 ⊢ H ∈ V
36		caucvg3lem.7	. . . . . . . . . 10 ⊢ R Fn ℕ
37		fnex 3621	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((R Fn ℕ ⋀ ℕ ∈ V) → R ∈ V)
38	36, 33, 37	mp2an 701	. . . . . . . . 9 ⊢ R ∈ V
39		visset 1820	. . . . . . . . 9 ⊢ t ∈ V
40	35, 38, 39	climmulc2 7143	. . . . . . . 8 ⊢ (((i ∈ ℂ ⋀ H ⇝ t) ⋀ (1 ∈ ℤ ⋀ ∀x ∈ (ℤ≥ ‘1)((H ‘x) ∈ ℂ ⋀ (R ‘x) = (i · (H ‘x))))) → R ⇝ (i · t))
41	32, 40	mpan2 700	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ⋀ H ⇝ t) → R ⇝ (i · t))
42	24, 41	mpan 699	. . . . . 6 ⊢ (H ⇝ t → R ⇝ (i · t))
43		oprex 3997	. . . . . . . 8 ⊢ (i · t) ∈ V
44		climcl 6992	. . . . . . . 8 ⊢ (((i · t) ∈ V ⋀ R ⇝ (i · t)) → (i · t) ∈ ℂ)
45	43, 44	mpan 699	. . . . . . 7 ⊢ (R ⇝ (i · t) → (i · t) ∈ ℂ)
46		breq2 2636	. . . . . . . 8 ⊢ (u = (i · t) → (R ⇝ u ↔ R ⇝ (i · t)))
47	46	rcla4ev 1884	. . . . . . 7 ⊢ (((i · t) ∈ ℂ ⋀ R ⇝ (i · t)) → ∃u ∈ ℂ R ⇝ u)
48	45, 47	mpancom 709	. . . . . 6 ⊢ (R ⇝ (i · t) → ∃u ∈ ℂ R ⇝ u)
49	42, 48	syl 10	. . . . 5 ⊢ (H ⇝ t → ∃u ∈ ℂ R ⇝ u)
50	49	a1i 8	. . . 4 ⊢ (t ∈ ℝ → (H ⇝ t → ∃u ∈ ℂ R ⇝ u))
51	50	r19.23aiv 1750	. . 3 ⊢ (∃t ∈ ℝ H ⇝ t → ∃u ∈ ℂ R ⇝ u)
52	23, 51	ax-mp 7	. 2 ⊢ ∃u ∈ ℂ R ⇝ u
53	8	recnd 5328	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (x ∈ ℕ → (G ‘x) ∈ ℂ)
54		axmulcl 5286	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((i ∈ ℂ ⋀ (H ‘x) ∈ ℂ) → (i · (H ‘x)) ∈ ℂ)
55	24, 54	mpan 699	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((H ‘x) ∈ ℂ → (i · (H ‘x)) ∈ ℂ)
56	27, 55	syl 10	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (x ∈ ℕ → (i · (H ‘x)) ∈ ℂ)
57	28, 56	eqeltrd 1555	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (x ∈ ℕ → (R ‘x) ∈ ℂ)
58		replimt 6775	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((F ‘x) ∈ ℂ → (F ‘x) = ((ℜ ‘(F ‘x)) + (i · (ℑ ‘(F ‘x)))))
59	5, 58	syl 10	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (x ∈ ℕ → (F ‘x) = ((ℜ ‘(F ‘x)) + (i · (ℑ ‘(F ‘x)))))
60	16	opreq2d 3990	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (x ∈ ℕ → (i · (H ‘x)) = (i · (ℑ ‘(F ‘x))))
61	28, 60	eqtrd 1514	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (x ∈ ℕ → (R ‘x) = (i · (ℑ ‘(F ‘x))))
62	3, 61	opreq12d 3992	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (x ∈ ℕ → ((G ‘x) + (R ‘x)) = ((ℜ ‘(F ‘x)) + (i · (ℑ ‘(F ‘x)))))
63	59, 62	eqtr4d 1517	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (x ∈ ℕ → (F ‘x) = ((G ‘x) + (R ‘x)))
64	53, 57, 63	3jca 823	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (x ∈ ℕ → ((G ‘x) ∈ ℂ ⋀ (R ‘x) ∈ ℂ ⋀ (F ‘x) = ((G ‘x) + (R ‘x))))
65	26, 64	sylbir 201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x ∈ (ℤ≥ ‘1) → ((G ‘x) ∈ ℂ ⋀ (R ‘x) ∈ ℂ ⋀ (F ‘x) = ((G ‘x) + (R ‘x))))
66	65	rgen 1705	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∀x ∈ (ℤ≥ ‘1)((G ‘x) ∈ ℂ ⋀ (R ‘x) ∈ ℂ ⋀ (F ‘x) = ((G ‘x) + (R ‘x)))
67	25, 66	pm3.2i 285	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℤ ⋀ ∀x ∈ (ℤ≥ ‘1)((G ‘x) ∈ ℂ ⋀ (R ‘x) ∈ ℂ ⋀ (F ‘x) = ((G ‘x) + (R ‘x))))
68		fnex 3621	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((G Fn ℕ ⋀ ℕ ∈ V) → G ∈ V)
69	2, 33, 68	mp2an 701	. . . . . . . . . 10 ⊢ G ∈ V
70		fex 3666	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((F:ℕ–→ℂ ⋀ ℕ ∈ V) → F ∈ V)
71	4, 33, 70	mp2an 701	. . . . . . . . . 10 ⊢ F ∈ V
72		visset 1820	. . . . . . . . . 10 ⊢ v ∈ V
73		visset 1820	. . . . . . . . . 10 ⊢ u ∈ V
74	69, 38, 71, 72, 73	climadd 7131	. . . . . . . . 9 ⊢ (((G ⇝ v ⋀ R ⇝ u) ⋀ (1 ∈ ℤ ⋀ ∀x ∈ (ℤ≥ ‘1)((G ‘x) ∈ ℂ ⋀ (R ‘x) ∈ ℂ ⋀ (F ‘x) = ((G ‘x) + (R ‘x))))) → F ⇝ (v + u))
75	67, 74	mpan2 700	. . . . . . . 8 ⊢ ((G ⇝ v ⋀ R ⇝ u) → F ⇝ (v + u))
76		oprex 3997	. . . . . . . . . 10 ⊢ (v + u) ∈ V
77		climcl 6992	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((v + u) ∈ V ⋀ F ⇝ (v + u)) → (v + u) ∈ ℂ)
78	76, 77	mpan 699	. . . . . . . . 9 ⊢ (F ⇝ (v + u) → (v + u) ∈ ℂ)
79		breq2 2636	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = (v + u) → (F ⇝ x ↔ F ⇝ (v + u)))
80	79	rcla4ev 1884	. . . . . . . . 9 ⊢ (((v + u) ∈ ℂ ⋀ F ⇝ (v + u)) → ∃x ∈ ℂ F ⇝ x)
81	78, 80	mpancom 709	. . . . . . . 8 ⊢ (F ⇝ (v + u) → ∃x ∈ ℂ F ⇝ x)
82	75, 81	syl 10	. . . . . . 7 ⊢ ((G ⇝ v ⋀ R ⇝ u) → ∃x ∈ ℂ F ⇝ x)
83	82	ex 373	. . . . . 6 ⊢ (G ⇝ v → (R ⇝ u → ∃x ∈ ℂ F ⇝ x))
84	83	a1d 12	. . . . 5 ⊢ (G ⇝ v → (u ∈ ℂ → (R ⇝ u → ∃x ∈ ℂ F ⇝ x)))
85	84	r19.23adv 1753	. . . 4 ⊢ (G ⇝ v → (∃u ∈ ℂ R ⇝ u → ∃x ∈ ℂ F ⇝ x))
86	85	a1i 8	. . 3 ⊢ (v ∈ ℝ → (G ⇝ v → (∃u ∈ ℂ R ⇝ u → ∃x ∈ ℂ F ⇝ x)))
87	86	r19.23aiv 1750	. 2 ⊢ (∃v ∈ ℝ G ⇝ v → (∃u ∈ ℂ R ⇝ u → ∃x ∈ ℂ F ⇝ x))
88	13, 52, 87	mp2 43	1 ⊢ ∃x ∈ ℂ F ⇝ x

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223   ⋀ w3a 779   = wceq 960   ∈ wcel 962  ∀wral 1652  ∃wrex 1653  Vcvv 1818   class class class wbr 2632   Fn wfn 3191  –→wf 3192   ‘cfv 3196  (class class class)co 3977  ℂcc 5245  ℝcr 5246  0cc0 5247  1c1 5248  ici 5249   + caddc 5250   · cmul 5252   − cmin 5305  ℕcn 5309  ℤcz 5311   < clt 5499  ℤ_≥cuz 6367  ℜcre 6761  ℑcim 6762  abscabs 6764   ⇝ cli 6988

This theorem is referenced by:  caucvg3 7181

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 966  ax-gen 967  ax-8 968  ax-9 969  ax-10 970  ax-11 971  ax-12 972  ax-13 973  ax-14 974  ax-17 975  ax-4 977  ax-5o 979  ax-6o 982  ax-9o 1129  ax-10o 1146  ax-16 1216  ax-11o 1224  ax-ext 1466  ax-rep 2706  ax-sep 2716  ax-nul 2723  ax-pow 2756  ax-pr 2793  ax-un 2880  ax-inf2 4637

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 780  df-3an 781  df-ex 985  df-sb 1178  df-eu 1388  df-mo 1389  df-clab 1471  df-cleq 1476  df-clel 1479  df-ne 1594  df-nel 1595  df-ral 1656  df-rex 1657  df-reu 1658  df-rab 1659  df-v 1819  df-sbc 1949  df-csb 2010  df-dif 2058  df-un 2059  df-in 2060  df-ss 2062  df-pss 2064  df-nul 2290  df-if 2372  df-pw 2412  df-sn 2422  df-pr 2423  df-tp 2425  df-op 2426  df-uni 2516  df-int 2546  df-iun 2580  df-br 2633  df-opab 2680  df-tr 2694  df-eprel 2846  df-id 2849  df-po 2854  df-so 2864  df-fr 2931  df-we 2948  df-ord 2965  df-on 2966  df-lim 2967  df-suc 2968  df-om 3146  df-xp 3198  df-rel 3199  df-cnv 3200  df-co 3201  df-dm 3202  df-rn 3203  df-res 3204  df-ima 3205  df-fun 3206  df-fn 3207  df-f 3208  df-f1 3209  df-fo 3210  df-f1o 3211  df-fv 3212  df-rdg 3946  df-opr 3979  df-oprab 3980  df-1st 4093  df-2nd 4094  df-1o 4147  df-oadd 4149  df-omul 4150  df-er 4275  df-ec 4277  df-qs 4280  df-en 4382  df-dom 4383  df-sdom 4384  df-sup 4584  df-ni 5013  df-pli 5014  df-mi 5015  df-lti 5016  df-plpq 5048  df-mpq 5049  df-enq 5050  df-nq 5051  df-plq 5052  df-mq 5053  df-rq 5054  df-ltq 5055  df-1q 5056  df-np 5099  df-1p 5100  df-plp 5101  df-mp 5102  df-ltp 5103  df-plpr 5177  df-mpr 5178  df-enr 5179  df-nr 5180  df-plr 5181  df-mr 5182  df-ltr 5183  df-0r 5184  df-1r 5185  df-m1r 5186  df-c 5253  df-0 5254  df-1 5255  df-i 5256  df-r 5257  df-plus 5258  df-mul 5259  df-lt 5260  df-sub 5369  df-neg 5371  df-pnf 5500  df-mnf 5501  df-xr 5502  df-ltxr 5503  df-le 5504  df-div 5716  df-n 5931  df-2 5976  df-n0 6106  df-z 6142  df-uz 6368  df-seq1 6491  df-exp 6582  df-sqr 6684  df-re 6765  df-im 6766  df-cj 6767  df-abs 6768  df-clim 6989

Copyright terms: Public domain