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Theorem caucvgrlem 14332
Description: Lemma for caurcvgr 14333. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.) (Revised by AV, 12-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caurcvgr.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
caurcvgr.2 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
caurcvgr.3 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
caurcvgr.4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
caucvgrlem.4 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
caucvgrlem (𝜑 → ∃𝑗𝐴 ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · 𝑅))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐴   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥   𝑅,𝑗,𝑘,𝑥

Proof of Theorem caucvgrlem
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caurcvgr.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
2 caurcvgr.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
3 reex 9972 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
43ssex 4767 . . . . . . . 8 (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ∈ V)
52, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ V)
63a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ∈ V)
7 fex2 7071 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ V ∧ ℝ ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
81, 5, 6, 7syl3anc 1323 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ V)
9 limsupcl 14133 . . . . . 6 (𝐹 ∈ V → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
108, 9syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
1110adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
121adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
13 simprl 793 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → 𝑗𝐴)
1412, 13ffvelrnd 6317 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
15 caucvgrlem.4 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
1615rpred 11816 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
1716adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → 𝑅 ∈ ℝ)
1814, 17readdcld 10014 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → ((𝐹𝑗) + 𝑅) ∈ ℝ)
19 mnfxr 10041 . . . . . 6 -∞ ∈ ℝ*
2019a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → -∞ ∈ ℝ*)
2114, 17resubcld 10403 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → ((𝐹𝑗) − 𝑅) ∈ ℝ)
2221rexrd 10034 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → ((𝐹𝑗) − 𝑅) ∈ ℝ*)
2321mnfltd 11902 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → -∞ < ((𝐹𝑗) − 𝑅))
242adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → 𝐴 ⊆ ℝ)
25 ressxr 10028 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℝ*
26 fss 6015 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℝ*) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
271, 25, 26sylancl 693 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
2827adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
29 caurcvgr.3 . . . . . . 7 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
3029adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
3124, 13sseldd 3589 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → 𝑗 ∈ ℝ)
32 simprr 795 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))
33 breq2 4622 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑚 → (𝑗𝑘𝑗𝑚))
34 fveq2 6150 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑚 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑚))
3534oveq1d 6620 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑚 → ((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗)) = ((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗)))
3635fveq2d 6154 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑚 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) = (abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))))
3736breq1d 4628 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑚 → ((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅 ↔ (abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))
3833, 37imbi12d 334 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑚 → ((𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅) ↔ (𝑗𝑚 → (abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑅)))
3938cbvralv 3164 . . . . . . . . 9 (∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅) ↔ ∀𝑚𝐴 (𝑗𝑚 → (abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))
4032, 39sylib 208 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → ∀𝑚𝐴 (𝑗𝑚 → (abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))
4112ffvelrnda 6316 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ 𝑚𝐴) → (𝐹𝑚) ∈ ℝ)
4214adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ 𝑚𝐴) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
4341, 42resubcld 10403 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ 𝑚𝐴) → ((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗)) ∈ ℝ)
4443recnd 10013 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ 𝑚𝐴) → ((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗)) ∈ ℂ)
4544abscld 14104 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ 𝑚𝐴) → (abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) ∈ ℝ)
4617adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ 𝑚𝐴) → 𝑅 ∈ ℝ)
47 ltle 10071 . . . . . . . . . . . . 13 (((abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) ≤ 𝑅))
4845, 46, 47syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ 𝑚𝐴) → ((abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) ≤ 𝑅))
4941, 42, 46absdifled 14102 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ 𝑚𝐴) → ((abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) ≤ 𝑅 ↔ (((𝐹𝑗) − 𝑅) ≤ (𝐹𝑚) ∧ (𝐹𝑚) ≤ ((𝐹𝑗) + 𝑅))))
5048, 49sylibd 229 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ 𝑚𝐴) → ((abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑅 → (((𝐹𝑗) − 𝑅) ≤ (𝐹𝑚) ∧ (𝐹𝑚) ≤ ((𝐹𝑗) + 𝑅))))
51 simpl 473 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹𝑗) − 𝑅) ≤ (𝐹𝑚) ∧ (𝐹𝑚) ≤ ((𝐹𝑗) + 𝑅)) → ((𝐹𝑗) − 𝑅) ≤ (𝐹𝑚))
5250, 51syl6 35 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ 𝑚𝐴) → ((abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑅 → ((𝐹𝑗) − 𝑅) ≤ (𝐹𝑚)))
5352imim2d 57 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ 𝑚𝐴) → ((𝑗𝑚 → (abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑅) → (𝑗𝑚 → ((𝐹𝑗) − 𝑅) ≤ (𝐹𝑚))))
5453ralimdva 2961 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → (∀𝑚𝐴 (𝑗𝑚 → (abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑅) → ∀𝑚𝐴 (𝑗𝑚 → ((𝐹𝑗) − 𝑅) ≤ (𝐹𝑚))))
5540, 54mpd 15 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → ∀𝑚𝐴 (𝑗𝑚 → ((𝐹𝑗) − 𝑅) ≤ (𝐹𝑚)))
56 breq1 4621 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑗 → (𝑛𝑚𝑗𝑚))
5756imbi1d 331 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑗 → ((𝑛𝑚 → ((𝐹𝑗) − 𝑅) ≤ (𝐹𝑚)) ↔ (𝑗𝑚 → ((𝐹𝑗) − 𝑅) ≤ (𝐹𝑚))))
5857ralbidv 2985 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑗 → (∀𝑚𝐴 (𝑛𝑚 → ((𝐹𝑗) − 𝑅) ≤ (𝐹𝑚)) ↔ ∀𝑚𝐴 (𝑗𝑚 → ((𝐹𝑗) − 𝑅) ≤ (𝐹𝑚))))
5958rspcev 3300 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚𝐴 (𝑗𝑚 → ((𝐹𝑗) − 𝑅) ≤ (𝐹𝑚))) → ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑚𝐴 (𝑛𝑚 → ((𝐹𝑗) − 𝑅) ≤ (𝐹𝑚)))
6031, 55, 59syl2anc 692 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑚𝐴 (𝑛𝑚 → ((𝐹𝑗) − 𝑅) ≤ (𝐹𝑚)))
6124, 28, 22, 30, 60limsupbnd2 14143 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → ((𝐹𝑗) − 𝑅) ≤ (lim sup‘𝐹))
6220, 22, 11, 23, 61xrltletrd 11936 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → -∞ < (lim sup‘𝐹))
6318rexrd 10034 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → ((𝐹𝑗) + 𝑅) ∈ ℝ*)
6445adantrr 752 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) ∈ ℝ)
6517adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → 𝑅 ∈ ℝ)
66 simprl 793 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → 𝑚𝐴)
67 simplrr 800 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))
68 simprr 795 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → 𝑗𝑚)
6938rspcv 3296 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚𝐴 → (∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅) → (𝑗𝑚 → (abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑅)))
7066, 67, 68, 69syl3c 66 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑅)
7164, 65, 70ltled 10130 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) ≤ 𝑅)
7241adantrr 752 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (𝐹𝑚) ∈ ℝ)
7314adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
7472, 73, 65absdifled 14102 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → ((abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) ≤ 𝑅 ↔ (((𝐹𝑗) − 𝑅) ≤ (𝐹𝑚) ∧ (𝐹𝑚) ≤ ((𝐹𝑗) + 𝑅))))
7571, 74mpbid 222 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (((𝐹𝑗) − 𝑅) ≤ (𝐹𝑚) ∧ (𝐹𝑚) ≤ ((𝐹𝑗) + 𝑅)))
7675simprd 479 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (𝐹𝑚) ≤ ((𝐹𝑗) + 𝑅))
7776expr 642 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ 𝑚𝐴) → (𝑗𝑚 → (𝐹𝑚) ≤ ((𝐹𝑗) + 𝑅)))
7877ralrimiva 2965 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → ∀𝑚𝐴 (𝑗𝑚 → (𝐹𝑚) ≤ ((𝐹𝑗) + 𝑅)))
7956imbi1d 331 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑗 → ((𝑛𝑚 → (𝐹𝑚) ≤ ((𝐹𝑗) + 𝑅)) ↔ (𝑗𝑚 → (𝐹𝑚) ≤ ((𝐹𝑗) + 𝑅))))
8079ralbidv 2985 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑗 → (∀𝑚𝐴 (𝑛𝑚 → (𝐹𝑚) ≤ ((𝐹𝑗) + 𝑅)) ↔ ∀𝑚𝐴 (𝑗𝑚 → (𝐹𝑚) ≤ ((𝐹𝑗) + 𝑅))))
8180rspcev 3300 . . . . . 6 ((𝑗 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚𝐴 (𝑗𝑚 → (𝐹𝑚) ≤ ((𝐹𝑗) + 𝑅))) → ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑚𝐴 (𝑛𝑚 → (𝐹𝑚) ≤ ((𝐹𝑗) + 𝑅)))
8231, 78, 81syl2anc 692 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑚𝐴 (𝑛𝑚 → (𝐹𝑚) ≤ ((𝐹𝑗) + 𝑅)))
8324, 28, 63, 82limsupbnd1 14142 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → (lim sup‘𝐹) ≤ ((𝐹𝑗) + 𝑅))
84 xrre 11942 . . . 4 ((((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ ((𝐹𝑗) + 𝑅) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < (lim sup‘𝐹) ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ ((𝐹𝑗) + 𝑅))) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
8511, 18, 62, 83, 84syl22anc 1324 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
8685adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
8772, 86resubcld 10403 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → ((𝐹𝑚) − (lim sup‘𝐹)) ∈ ℝ)
8887recnd 10013 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → ((𝐹𝑚) − (lim sup‘𝐹)) ∈ ℂ)
8988abscld 14104 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (abs‘((𝐹𝑚) − (lim sup‘𝐹))) ∈ ℝ)
90 2re 11035 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
91 remulcl 9966 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (2 · 𝑅) ∈ ℝ)
9290, 65, 91sylancr 694 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (2 · 𝑅) ∈ ℝ)
93 3re 11039 . . . . . . . 8 3 ∈ ℝ
94 remulcl 9966 . . . . . . . 8 ((3 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (3 · 𝑅) ∈ ℝ)
9593, 65, 94sylancr 694 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (3 · 𝑅) ∈ ℝ)
9672recnd 10013 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (𝐹𝑚) ∈ ℂ)
9786recnd 10013 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℂ)
9896, 97abssubd 14121 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (abs‘((𝐹𝑚) − (lim sup‘𝐹))) = (abs‘((lim sup‘𝐹) − (𝐹𝑚))))
9972, 92resubcld 10403 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → ((𝐹𝑚) − (2 · 𝑅)) ∈ ℝ)
10021adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → ((𝐹𝑗) − 𝑅) ∈ ℝ)
10165recnd 10013 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → 𝑅 ∈ ℂ)
1021012timesd 11220 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (2 · 𝑅) = (𝑅 + 𝑅))
103102oveq2d 6621 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → ((𝐹𝑚) − (2 · 𝑅)) = ((𝐹𝑚) − (𝑅 + 𝑅)))
10496, 101, 101subsub4d 10368 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (((𝐹𝑚) − 𝑅) − 𝑅) = ((𝐹𝑚) − (𝑅 + 𝑅)))
105103, 104eqtr4d 2663 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → ((𝐹𝑚) − (2 · 𝑅)) = (((𝐹𝑚) − 𝑅) − 𝑅))
10672, 65resubcld 10403 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → ((𝐹𝑚) − 𝑅) ∈ ℝ)
10772, 65, 73lesubaddd 10569 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (((𝐹𝑚) − 𝑅) ≤ (𝐹𝑗) ↔ (𝐹𝑚) ≤ ((𝐹𝑗) + 𝑅)))
10876, 107mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → ((𝐹𝑚) − 𝑅) ≤ (𝐹𝑗))
109106, 73, 65, 108lesub1dd 10588 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (((𝐹𝑚) − 𝑅) − 𝑅) ≤ ((𝐹𝑗) − 𝑅))
110105, 109eqbrtrd 4640 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → ((𝐹𝑚) − (2 · 𝑅)) ≤ ((𝐹𝑗) − 𝑅))
11161adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → ((𝐹𝑗) − 𝑅) ≤ (lim sup‘𝐹))
11299, 100, 86, 110, 111letrd 10139 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → ((𝐹𝑚) − (2 · 𝑅)) ≤ (lim sup‘𝐹))
11318adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → ((𝐹𝑗) + 𝑅) ∈ ℝ)
11472, 92readdcld 10014 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → ((𝐹𝑚) + (2 · 𝑅)) ∈ ℝ)
11583adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (lim sup‘𝐹) ≤ ((𝐹𝑗) + 𝑅))
11672, 65readdcld 10014 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → ((𝐹𝑚) + 𝑅) ∈ ℝ)
11775, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → ((𝐹𝑗) − 𝑅) ≤ (𝐹𝑚))
11873, 65, 72lesubaddd 10569 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (((𝐹𝑗) − 𝑅) ≤ (𝐹𝑚) ↔ (𝐹𝑗) ≤ ((𝐹𝑚) + 𝑅)))
119117, 118mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (𝐹𝑗) ≤ ((𝐹𝑚) + 𝑅))
12073, 116, 65, 119leadd1dd 10586 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → ((𝐹𝑗) + 𝑅) ≤ (((𝐹𝑚) + 𝑅) + 𝑅))
12196, 101, 101addassd 10007 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (((𝐹𝑚) + 𝑅) + 𝑅) = ((𝐹𝑚) + (𝑅 + 𝑅)))
122102oveq2d 6621 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → ((𝐹𝑚) + (2 · 𝑅)) = ((𝐹𝑚) + (𝑅 + 𝑅)))
123121, 122eqtr4d 2663 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (((𝐹𝑚) + 𝑅) + 𝑅) = ((𝐹𝑚) + (2 · 𝑅)))
124120, 123breqtrd 4644 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → ((𝐹𝑗) + 𝑅) ≤ ((𝐹𝑚) + (2 · 𝑅)))
12586, 113, 114, 115, 124letrd 10139 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (lim sup‘𝐹) ≤ ((𝐹𝑚) + (2 · 𝑅)))
12686, 72, 92absdifled 14102 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → ((abs‘((lim sup‘𝐹) − (𝐹𝑚))) ≤ (2 · 𝑅) ↔ (((𝐹𝑚) − (2 · 𝑅)) ≤ (lim sup‘𝐹) ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ ((𝐹𝑚) + (2 · 𝑅)))))
127112, 125, 126mpbir2and 956 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (abs‘((lim sup‘𝐹) − (𝐹𝑚))) ≤ (2 · 𝑅))
12898, 127eqbrtrd 4640 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (abs‘((𝐹𝑚) − (lim sup‘𝐹))) ≤ (2 · 𝑅))
129 2lt3 11140 . . . . . . . 8 2 < 3
13090a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → 2 ∈ ℝ)
13193a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → 3 ∈ ℝ)
13215adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → 𝑅 ∈ ℝ+)
133132adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
134130, 131, 133ltmul1d 11857 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (2 < 3 ↔ (2 · 𝑅) < (3 · 𝑅)))
135129, 134mpbii 223 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (2 · 𝑅) < (3 · 𝑅))
13689, 92, 95, 128, 135lelttrd 10140 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (abs‘((𝐹𝑚) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · 𝑅))
137136expr 642 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ 𝑚𝐴) → (𝑗𝑚 → (abs‘((𝐹𝑚) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · 𝑅)))
138137ralrimiva 2965 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → ∀𝑚𝐴 (𝑗𝑚 → (abs‘((𝐹𝑚) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · 𝑅)))
13934oveq1d 6620 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) = ((𝐹𝑚) − (lim sup‘𝐹)))
140139fveq2d 6154 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑚 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) = (abs‘((𝐹𝑚) − (lim sup‘𝐹))))
141140breq1d 4628 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑚 → ((abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · 𝑅) ↔ (abs‘((𝐹𝑚) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · 𝑅)))
14233, 141imbi12d 334 . . . . 5 (𝑘 = 𝑚 → ((𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · 𝑅)) ↔ (𝑗𝑚 → (abs‘((𝐹𝑚) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · 𝑅))))
143142cbvralv 3164 . . . 4 (∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · 𝑅)) ↔ ∀𝑚𝐴 (𝑗𝑚 → (abs‘((𝐹𝑚) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · 𝑅)))
144138, 143sylibr 224 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · 𝑅)))
14585, 144jca 554 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · 𝑅))))
146 caurcvgr.4 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
147 breq2 4622 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑅 → ((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))
148147imbi2d 330 . . . . 5 (𝑥 = 𝑅 → ((𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅)))
149148rexralbidv 3056 . . . 4 (𝑥 = 𝑅 → (∃𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∃𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅)))
150149rspcv 3296 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ+ → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅)))
15115, 146, 150sylc 65 . 2 (𝜑 → ∃𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))
152145, 151reximddv 3017 1 (𝜑 → ∃𝑗𝐴 ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · 𝑅))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wral 2912  wrex 2913  Vcvv 3191  wss 3560   class class class wbr 4618  wf 5846  cfv 5850  (class class class)co 6605  supcsup 8291  cr 9880   + caddc 9884   · cmul 9886  +∞cpnf 10016  -∞cmnf 10017  *cxr 10018   < clt 10019  cle 10020  cmin 10211  2c2 11015  3c3 11016  +crp 11776  abscabs 13903  lim supclsp 14130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-sup 8293  df-inf 8294  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-rp 11777  df-ico 12120  df-seq 12739  df-exp 12798  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-limsup 14131
This theorem is referenced by:  caurcvgr  14333
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