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Theorem caucvgrlem2 14339
Description: Lemma for caucvgr 14340. (Contributed by NM, 4-Apr-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 8-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgr.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
caucvgr.2 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
caucvgr.3 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
caucvgr.4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
caucvgrlem2.5 𝐻:ℂ⟶ℝ
caucvgrlem2.6 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) → (abs‘((𝐻‘(𝐹𝑘)) − (𝐻‘(𝐹𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))))
Assertion
Ref Expression
caucvgrlem2 (𝜑 → (𝑛𝐴 ↦ (𝐻‘(𝐹𝑛))) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝐻𝐹)))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑛,𝑥,𝐴   𝑗,𝐹,𝑘,𝑛,𝑥   𝑗,𝐻,𝑘,𝑛,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑛,𝑥

Proof of Theorem caucvgrlem2
StepHypRef Expression
1 caucvgrlem2.5 . . 3 𝐻:ℂ⟶ℝ
2 caucvgr.2 . . 3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
3 fcompt 6354 . . 3 ((𝐻:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (𝐻𝐹) = (𝑛𝐴 ↦ (𝐻‘(𝐹𝑛))))
41, 2, 3sylancr 694 . 2 (𝜑 → (𝐻𝐹) = (𝑛𝐴 ↦ (𝐻‘(𝐹𝑛))))
5 caucvgr.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
6 fco 6015 . . . . . 6 ((𝐻:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (𝐻𝐹):𝐴⟶ℝ)
71, 2, 6sylancr 694 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻𝐹):𝐴⟶ℝ)
8 caucvgr.3 . . . . 5 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
9 caucvgr.4 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
102ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
11 simprr 795 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → 𝑘𝐴)
1210, 11ffvelrnd 6316 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
13 simprl 793 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → 𝑗𝐴)
1410, 13ffvelrnd 6316 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
15 caucvgrlem2.6 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) → (abs‘((𝐻‘(𝐹𝑘)) − (𝐻‘(𝐹𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))))
1612, 14, 15syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → (abs‘((𝐻‘(𝐹𝑘)) − (𝐻‘(𝐹𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))))
171ffvelrni 6314 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑘) ∈ ℂ → (𝐻‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
1812, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → (𝐻‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
191ffvelrni 6314 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑗) ∈ ℂ → (𝐻‘(𝐹𝑗)) ∈ ℝ)
2014, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → (𝐻‘(𝐹𝑗)) ∈ ℝ)
2118, 20resubcld 10402 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → ((𝐻‘(𝐹𝑘)) − (𝐻‘(𝐹𝑗))) ∈ ℝ)
2221recnd 10012 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → ((𝐻‘(𝐹𝑘)) − (𝐻‘(𝐹𝑗))) ∈ ℂ)
2322abscld 14109 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → (abs‘((𝐻‘(𝐹𝑘)) − (𝐻‘(𝐹𝑗)))) ∈ ℝ)
2412, 14subcld 10336 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → ((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗)) ∈ ℂ)
2524abscld 14109 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ∈ ℝ)
26 rpre 11783 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
2726ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ)
28 lelttr 10072 . . . . . . . . . . . . . 14 (((abs‘((𝐻‘(𝐹𝑘)) − (𝐻‘(𝐹𝑗)))) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((abs‘((𝐻‘(𝐹𝑘)) − (𝐻‘(𝐹𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → (abs‘((𝐻‘(𝐹𝑘)) − (𝐻‘(𝐹𝑗)))) < 𝑥))
2923, 25, 27, 28syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → (((abs‘((𝐻‘(𝐹𝑘)) − (𝐻‘(𝐹𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → (abs‘((𝐻‘(𝐹𝑘)) − (𝐻‘(𝐹𝑗)))) < 𝑥))
3016, 29mpand 710 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → ((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 → (abs‘((𝐻‘(𝐹𝑘)) − (𝐻‘(𝐹𝑗)))) < 𝑥))
31 fvco3 6232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑘𝐴) → ((𝐻𝐹)‘𝑘) = (𝐻‘(𝐹𝑘)))
3210, 11, 31syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → ((𝐻𝐹)‘𝑘) = (𝐻‘(𝐹𝑘)))
33 fvco3 6232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑗𝐴) → ((𝐻𝐹)‘𝑗) = (𝐻‘(𝐹𝑗)))
3410, 13, 33syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → ((𝐻𝐹)‘𝑗) = (𝐻‘(𝐹𝑗)))
3532, 34oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → (((𝐻𝐹)‘𝑘) − ((𝐻𝐹)‘𝑗)) = ((𝐻‘(𝐹𝑘)) − (𝐻‘(𝐹𝑗))))
3635fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → (abs‘(((𝐻𝐹)‘𝑘) − ((𝐻𝐹)‘𝑗))) = (abs‘((𝐻‘(𝐹𝑘)) − (𝐻‘(𝐹𝑗)))))
3736breq1d 4623 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → ((abs‘(((𝐻𝐹)‘𝑘) − ((𝐻𝐹)‘𝑗))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐻‘(𝐹𝑘)) − (𝐻‘(𝐹𝑗)))) < 𝑥))
3830, 37sylibrd 249 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → ((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 → (abs‘(((𝐻𝐹)‘𝑘) − ((𝐻𝐹)‘𝑗))) < 𝑥))
3938imim2d 57 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → ((𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → (𝑗𝑘 → (abs‘(((𝐻𝐹)‘𝑘) − ((𝐻𝐹)‘𝑗))) < 𝑥)))
4039anassrs 679 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝐴) → ((𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → (𝑗𝑘 → (abs‘(((𝐻𝐹)‘𝑘) − ((𝐻𝐹)‘𝑗))) < 𝑥)))
4140ralimdva 2956 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝐴) → (∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘(((𝐻𝐹)‘𝑘) − ((𝐻𝐹)‘𝑗))) < 𝑥)))
4241reximdva 3011 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘(((𝐻𝐹)‘𝑘) − ((𝐻𝐹)‘𝑗))) < 𝑥)))
4342ralimdva 2956 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘(((𝐻𝐹)‘𝑘) − ((𝐻𝐹)‘𝑗))) < 𝑥)))
449, 43mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘(((𝐻𝐹)‘𝑘) − ((𝐻𝐹)‘𝑗))) < 𝑥))
455, 7, 8, 44caurcvgr 14338 . . . 4 (𝜑 → (𝐻𝐹) ⇝𝑟 (lim sup‘(𝐻𝐹)))
46 rlimrel 14158 . . . . 5 Rel ⇝𝑟
4746releldmi 5322 . . . 4 ((𝐻𝐹) ⇝𝑟 (lim sup‘(𝐻𝐹)) → (𝐻𝐹) ∈ dom ⇝𝑟 )
4845, 47syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐻𝐹) ∈ dom ⇝𝑟 )
49 ax-resscn 9937 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
50 fss 6013 . . . . 5 (((𝐻𝐹):𝐴⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝐻𝐹):𝐴⟶ℂ)
517, 49, 50sylancl 693 . . . 4 (𝜑 → (𝐻𝐹):𝐴⟶ℂ)
5251, 8rlimdm 14216 . . 3 (𝜑 → ((𝐻𝐹) ∈ dom ⇝𝑟 ↔ (𝐻𝐹) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝐻𝐹))))
5348, 52mpbid 222 . 2 (𝜑 → (𝐻𝐹) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝐻𝐹)))
544, 53eqbrtrrd 4637 1 (𝜑 → (𝑛𝐴 ↦ (𝐻‘(𝐹𝑛))) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝐻𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  wrex 2908  wss 3555   class class class wbr 4613  cmpt 4673  dom cdm 5074  ccom 5078  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  supcsup 8290  cc 9878  cr 9879  +∞cpnf 10015  *cxr 10017   < clt 10018  cle 10019  cmin 10210  +crp 11776  abscabs 13908  lim supclsp 14135  𝑟 crli 14150
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-ico 12123  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-limsup 14136  df-rlim 14154
This theorem is referenced by:  caucvgr  14340
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