MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  caurcvg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caurcvg 14577
Description: A Cauchy sequence of real numbers converges to its limit supremum. The fourth hypothesis specifies that 𝐹 is a Cauchy sequence. (Contributed by NM, 4-Apr-2005.) (Revised by AV, 12-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caurcvg.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
caurcvg.3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
caurcvg.4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥)
Assertion
Ref Expression
caurcvg (𝜑𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑚,𝑥,𝐹   𝑚,𝑀,𝑥   𝜑,𝑘,𝑚,𝑥   𝑘,𝑍,𝑚,𝑥
Allowed substitution hint:   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem caurcvg
StepHypRef Expression
1 caurcvg.1 . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 uzssz 11870 . . . . . 6 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
31, 2eqsstri 3764 . . . . 5 𝑍 ⊆ ℤ
4 zssre 11547 . . . . 5 ℤ ⊆ ℝ
53, 4sstri 3741 . . . 4 𝑍 ⊆ ℝ
65a1i 11 . . 3 (𝜑𝑍 ⊆ ℝ)
7 caurcvg.3 . . 3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
8 1rp 12000 . . . . . 6 1 ∈ ℝ+
98ne0ii 4054 . . . . 5 + ≠ ∅
10 caurcvg.4 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥)
11 r19.2z 4192 . . . . 5 ((ℝ+ ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑚𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥)
129, 10, 11sylancr 698 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑚𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥)
13 eluzel2 11855 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
1413, 1eleq2s 2845 . . . . . . . 8 (𝑚𝑍𝑀 ∈ ℤ)
151uzsup 12827 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
1614, 15syl 17 . . . . . . 7 (𝑚𝑍 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
1716a1d 25 . . . . . 6 (𝑚𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞))
1817rexlimiv 3153 . . . . 5 (∃𝑚𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
1918rexlimivw 3155 . . . 4 (∃𝑥 ∈ ℝ+𝑚𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
2012, 19syl 17 . . 3 (𝜑 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
213sseli 3728 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚𝑍𝑚 ∈ ℤ)
223sseli 3728 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℤ)
23 eluz 11864 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑚) ↔ 𝑚𝑘))
2421, 22, 23syl2an 495 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚𝑍𝑘𝑍) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑚) ↔ 𝑚𝑘))
2524biimprd 238 . . . . . . . . . 10 ((𝑚𝑍𝑘𝑍) → (𝑚𝑘𝑘 ∈ (ℤ𝑚)))
2625expimpd 630 . . . . . . . . 9 (𝑚𝑍 → ((𝑘𝑍𝑚𝑘) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑚)))
2726imim1d 82 . . . . . . . 8 (𝑚𝑍 → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥) → ((𝑘𝑍𝑚𝑘) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥)))
2827exp4a 634 . . . . . . 7 (𝑚𝑍 → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥) → (𝑘𝑍 → (𝑚𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥))))
2928ralimdv2 3087 . . . . . 6 (𝑚𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥 → ∀𝑘𝑍 (𝑚𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥)))
3029reximia 3135 . . . . 5 (∃𝑚𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥 → ∃𝑚𝑍𝑘𝑍 (𝑚𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥))
3130ralimi 3078 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚𝑍𝑘𝑍 (𝑚𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥))
3210, 31syl 17 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚𝑍𝑘𝑍 (𝑚𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥))
336, 7, 20, 32caurcvgr 14574 . 2 (𝜑𝐹𝑟 (lim sup‘𝐹))
3414a1d 25 . . . . . 6 (𝑚𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥𝑀 ∈ ℤ))
3534rexlimiv 3153 . . . . 5 (∃𝑚𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥𝑀 ∈ ℤ)
3635rexlimivw 3155 . . . 4 (∃𝑥 ∈ ℝ+𝑚𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥𝑀 ∈ ℤ)
3712, 36syl 17 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
38 ax-resscn 10156 . . . 4 ℝ ⊆ ℂ
39 fss 6205 . . . 4 ((𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:𝑍⟶ℂ)
407, 38, 39sylancl 697 . . 3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℂ)
411, 37, 40rlimclim 14447 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑟 (lim sup‘𝐹) ↔ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)))
4233, 41mpbid 222 1 (𝜑𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1620  wcel 2127  wne 2920  wral 3038  wrex 3039  wss 3703  c0 4046   class class class wbr 4792  wf 6033  cfv 6037  (class class class)co 6801  supcsup 8499  cc 10097  cr 10098  1c1 10100  +∞cpnf 10234  *cxr 10236   < clt 10237  cle 10238  cmin 10429  cz 11540  cuz 11850  +crp 11996  abscabs 14144  lim supclsp 14371  cli 14385  𝑟 crli 14386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-pre-sup 10177
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7899  df-pm 8014  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8501  df-inf 8502  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-rp 11997  df-ico 12345  df-fl 12758  df-seq 12967  df-exp 13026  df-cj 14009  df-re 14010  df-im 14011  df-sqrt 14145  df-abs 14146  df-limsup 14372  df-clim 14389  df-rlim 14390
This theorem is referenced by:  caurcvg2  14578  mbflimlem  23604  climlimsup  40464  ioodvbdlimc1lem1  40618
  Copyright terms: Public domain W3C validator