Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  caurcvgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caurcvgr 14333
 Description: A Cauchy sequence of real numbers converges to its limit supremum. The third hypothesis specifies that 𝐹 is a Cauchy sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2016.) (Revised by AV, 12-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caurcvgr.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
caurcvgr.2 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
caurcvgr.3 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
caurcvgr.4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
Assertion
Ref Expression
caurcvgr (𝜑𝐹𝑟 (lim sup‘𝐹))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐴   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥

Proof of Theorem caurcvgr
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caurcvgr.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
2 caurcvgr.2 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
3 caurcvgr.3 . . . . 5 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
4 caurcvgr.4 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
5 1rp 11780 . . . . . 6 1 ∈ ℝ+
65a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
71, 2, 3, 4, 6caucvgrlem 14332 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑗𝐴 ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · 1))))
8 simpl 473 . . . . 5 (((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · 1))) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
98rexlimivw 3027 . . . 4 (∃𝑗𝐴 ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · 1))) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
107, 9syl 17 . . 3 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
1110recnd 10013 . 2 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℂ)
121adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐴 ⊆ ℝ)
132adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
143adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
154adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
16 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
17 3re 11039 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℝ
18 3pos 11059 . . . . . . . . 9 0 < 3
1917, 18elrpii 11779 . . . . . . . 8 3 ∈ ℝ+
20 rpdivcl 11800 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 3) ∈ ℝ+)
2116, 19, 20sylancl 693 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 3) ∈ ℝ+)
2212, 13, 14, 15, 21caucvgrlem 14332 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝐴 ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3)))))
23 simpr 477 . . . . . . 7 (((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3)))) → ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3))))
2423reximi 3010 . . . . . 6 (∃𝑗𝐴 ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3)))) → ∃𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3))))
2522, 24syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3))))
26 ssrexv 3651 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3))) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3)))))
2712, 25, 26sylc 65 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3))))
28 rpcn 11785 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℂ)
2928adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℂ)
30 3cn 11040 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
3130a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 3 ∈ ℂ)
32 3ne0 11060 . . . . . . . . 9 3 ≠ 0
3332a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 3 ≠ 0)
3429, 31, 33divcan2d 10748 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (3 · (𝑦 / 3)) = 𝑦)
3534breq2d 4630 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ((abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3)) ↔ (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑦))
3635imbi2d 330 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3))) ↔ (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑦)))
3736rexralbidv 3056 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑦)))
3827, 37mpbid 222 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑦))
3938ralrimiva 2965 . 2 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑦))
40 ax-resscn 9938 . . . 4 ℝ ⊆ ℂ
41 fss 6015 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
422, 40, 41sylancl 693 . . 3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
43 eqidd 2627 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
4442, 1, 43rlim 14155 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑟 (lim sup‘𝐹) ↔ ((lim sup‘𝐹) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑦))))
4511, 39, 44mpbir2and 956 1 (𝜑𝐹𝑟 (lim sup‘𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1992   ≠ wne 2796  ∀wral 2912  ∃wrex 2913   ⊆ wss 3560   class class class wbr 4618  ⟶wf 5846  ‘cfv 5850  (class class class)co 6605  supcsup 8291  ℂcc 9879  ℝcr 9880  0cc0 9881  1c1 9882   · cmul 9886  +∞cpnf 10016  ℝ*cxr 10018   < clt 10019   ≤ cle 10020   − cmin 10211   / cdiv 10629  3c3 11016  ℝ+crp 11776  abscabs 13903  lim supclsp 14130   ⇝𝑟 crli 14145 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-pm 7806  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-sup 8293  df-inf 8294  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-rp 11777  df-ico 12120  df-seq 12739  df-exp 12798  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-limsup 14131  df-rlim 14149 This theorem is referenced by:  caucvgrlem2  14334  caurcvg  14336
 Copyright terms: Public domain W3C validator