Theorem caurcvgr 14333

Description: A Cauchy sequence of real numbers converges to its limit supremum. The third hypothesis specifies that 𝐹 is a Cauchy sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2016.) (Revised by AV, 12-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caurcvgr.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
caurcvgr.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
caurcvgr.3	⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
caurcvgr.4	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
caurcvgr	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑟 (lim sup‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐴   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥

Proof of Theorem caurcvgr

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caurcvgr.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
2		caurcvgr.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
3		caurcvgr.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
4		caurcvgr.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
5		1rp 11780	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ+
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
7	1, 2, 3, 4, 6	caucvgrlem 14332	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝐴 ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · 1))))
8		simpl 473	. . . . 5 ⊢ (((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · 1))) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
9	8	rexlimivw 3027	. . . 4 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝐴 ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · 1))) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
10	7, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
11	10	recnd 10013	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℂ)
12	1	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐴 ⊆ ℝ)
13	2	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
14	3	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
15	4	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
16		simpr 477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
17		3re 11039	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℝ
18		3pos 11059	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 3
19	17, 18	elrpii 11779	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ+
20		rpdivcl 11800	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 3) ∈ ℝ+)
21	16, 19, 20	sylancl 693	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 3) ∈ ℝ+)
22	12, 13, 14, 15, 21	caucvgrlem 14332	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝐴 ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3)))))
23		simpr 477	. . . . . . 7 ⊢ (((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3)))) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3))))
24	23	reximi 3010	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝐴 ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3)))) → ∃𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3))))
25	22, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3))))
26		ssrexv 3651	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3))) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3)))))
27	12, 25, 26	sylc 65	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3))))
28		rpcn 11785	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ∈ ℂ)
29	28	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℂ)
30		3cn 11040	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
31	30	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 3 ∈ ℂ)
32		3ne0 11060	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ≠ 0
33	32	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 3 ≠ 0)
34	29, 31, 33	divcan2d 10748	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (3 · (𝑦 / 3)) = 𝑦)
35	34	breq2d 4630	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3)) ↔ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑦))
36	35	imbi2d 330	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3))) ↔ (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑦)))
37	36	rexralbidv 3056	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑦)))
38	27, 37	mpbid 222	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑦))
39	38	ralrimiva 2965	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑦))
40		ax-resscn 9938	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
41		fss 6015	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
42	2, 40, 41	sylancl 693	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
43		eqidd 2627	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
44	42, 1, 43	rlim 14155	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝𝑟 (lim sup‘𝐹) ↔ ((lim sup‘𝐹) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑦))))
45	11, 39, 44	mpbir2and 956	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑟 (lim sup‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1992   ≠ wne 2796  ∀wral 2912  ∃wrex 2913   ⊆ wss 3560   class class class wbr 4618  ⟶wf 5846  ‘cfv 5850  (class class class)co 6605  supcsup 8291  ℂcc 9879  ℝcr 9880  0cc0 9881  1c1 9882   · cmul 9886  +∞cpnf 10016  ℝ^*cxr 10018   < clt 10019   ≤ cle 10020   − cmin 10211   / cdiv 10629  3c3 11016  ℝ⁺crp 11776  abscabs 13903  lim supclsp 14130   ⇝_𝑟 crli 14145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-pm 7806  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-sup 8293  df-inf 8294  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-rp 11777  df-ico 12120  df-seq 12739  df-exp 12798  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-limsup 14131  df-rlim 14149

This theorem is referenced by:  caucvgrlem2  14334  caurcvg  14336