MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cbvitg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cbvitg 23587
Description: Change bound variable in an integral. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cbvitg.1 (𝑥 = 𝑦𝐵 = 𝐶)
cbvitg.2 𝑦𝐵
cbvitg.3 𝑥𝐶
Assertion
Ref Expression
cbvitg 𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑦
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cbvitg
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1883 . . . . . . . . 9 𝑦 𝑥𝐴
2 nfcv 2793 . . . . . . . . . 10 𝑦0
3 nfcv 2793 . . . . . . . . . 10 𝑦
4 nfcv 2793 . . . . . . . . . . 11 𝑦
5 cbvitg.2 . . . . . . . . . . . 12 𝑦𝐵
6 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 /
7 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . 12 𝑦(i↑𝑘)
85, 6, 7nfov 6716 . . . . . . . . . . 11 𝑦(𝐵 / (i↑𝑘))
94, 8nffv 6236 . . . . . . . . . 10 𝑦(ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))
102, 3, 9nfbr 4732 . . . . . . . . 9 𝑦0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))
111, 10nfan 1868 . . . . . . . 8 𝑦(𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))))
1211, 9, 2nfif 4148 . . . . . . 7 𝑦if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)
13 nfv 1883 . . . . . . . . 9 𝑥 𝑦𝐴
14 nfcv 2793 . . . . . . . . . 10 𝑥0
15 nfcv 2793 . . . . . . . . . 10 𝑥
16 nfcv 2793 . . . . . . . . . . 11 𝑥
17 cbvitg.3 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝐶
18 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 /
19 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . 12 𝑥(i↑𝑘)
2017, 18, 19nfov 6716 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝐶 / (i↑𝑘))
2116, 20nffv 6236 . . . . . . . . . 10 𝑥(ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))
2214, 15, 21nfbr 4732 . . . . . . . . 9 𝑥0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))
2313, 22nfan 1868 . . . . . . . 8 𝑥(𝑦𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))))
2423, 21, 14nfif 4148 . . . . . . 7 𝑥if((𝑦𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)
25 eleq1 2718 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
26 cbvitg.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦𝐵 = 𝐶)
2726oveq1d 6705 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 / (i↑𝑘)) = (𝐶 / (i↑𝑘)))
2827fveq2d 6233 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))))
2928breq2d 4697 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) ↔ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))))
3025, 29anbi12d 747 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))) ↔ (𝑦𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))))))
3130, 28ifbieq1d 4142 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0) = if((𝑦𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
3212, 24, 31cbvmpt 4782 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
3332a1i 11 . . . . 5 (𝑘 ∈ (0...3) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))
3433fveq2d 6233 . . . 4 (𝑘 ∈ (0...3) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) = (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))
3534oveq2d 6706 . . 3 (𝑘 ∈ (0...3) → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))) = ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))))
3635sumeq2i 14473 . 2 Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))) = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))
37 eqid 2651 . . 3 (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))
3837dfitg 23581 . 2 𝐴𝐵 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))))
39 eqid 2651 . . 3 (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))
4039dfitg 23581 . 2 𝐴𝐶 d𝑦 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))
4136, 38, 403eqtr4i 2683 1 𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑦
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wnfc 2780  ifcif 4119   class class class wbr 4685  cmpt 4762  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973  0cc0 9974  ici 9976   · cmul 9979  cle 10113   / cdiv 10722  3c3 11109  ...cfz 12364  cexp 12900  cre 13881  Σcsu 14460  2citg2 23430  citg 23432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-seq 12842  df-sum 14461  df-itg 23437
This theorem is referenced by:  cbvitgv  23588  itgmpt  23594  itgfsum  23638  itgabs  23646  cbvditg  23663  itgparts  23855  itgsubstlem  23856  itgulm2  24208  itgabsnc  33609
  Copyright terms: Public domain W3C validator