MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccat1st1st Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccat1st1st 13523
Description: The first symbol of a word concatenated with its first symbol is the first symbol of the word. This theorem holds even if 𝑊 is the empty word. (Contributed by AV, 26-Mar-2022.)
Assertion
Ref Expression
ccat1st1st (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘0) = (𝑊‘0))

Proof of Theorem ccat1st1st
StepHypRef Expression
1 hasheq0 13267 . . . 4 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) = 0 ↔ 𝑊 = ∅))
21biimpac 504 . . 3 (((♯‘𝑊) = 0 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → 𝑊 = ∅)
3 s1cli 13496 . . . . . . 7 ⟨“∅”⟩ ∈ Word V
4 ccatlid 13479 . . . . . . 7 (⟨“∅”⟩ ∈ Word V → (∅ ++ ⟨“∅”⟩) = ⟨“∅”⟩)
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6 (∅ ++ ⟨“∅”⟩) = ⟨“∅”⟩
65fveq1i 6305 . . . . 5 ((∅ ++ ⟨“∅”⟩)‘0) = (⟨“∅”⟩‘0)
7 0ex 4898 . . . . . 6 ∅ ∈ V
8 s1fv 13502 . . . . . 6 (∅ ∈ V → (⟨“∅”⟩‘0) = ∅)
97, 8ax-mp 5 . . . . 5 (⟨“∅”⟩‘0) = ∅
106, 9eqtri 2746 . . . 4 ((∅ ++ ⟨“∅”⟩)‘0) = ∅
11 id 22 . . . . . 6 (𝑊 = ∅ → 𝑊 = ∅)
12 fveq1 6303 . . . . . . . 8 (𝑊 = ∅ → (𝑊‘0) = (∅‘0))
13 0fv 6340 . . . . . . . 8 (∅‘0) = ∅
1412, 13syl6eq 2774 . . . . . . 7 (𝑊 = ∅ → (𝑊‘0) = ∅)
1514s1eqd 13492 . . . . . 6 (𝑊 = ∅ → ⟨“(𝑊‘0)”⟩ = ⟨“∅”⟩)
1611, 15oveq12d 6783 . . . . 5 (𝑊 = ∅ → (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) = (∅ ++ ⟨“∅”⟩))
1716fveq1d 6306 . . . 4 (𝑊 = ∅ → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘0) = ((∅ ++ ⟨“∅”⟩)‘0))
1810, 17, 143eqtr4a 2784 . . 3 (𝑊 = ∅ → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
192, 18syl 17 . 2 (((♯‘𝑊) = 0 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
20 wrdv 13427 . . . 4 (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ∈ Word V)
2120adantl 473 . . 3 ((¬ (♯‘𝑊) = 0 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → 𝑊 ∈ Word V)
22 fvexd 6316 . . 3 ((¬ (♯‘𝑊) = 0 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑊‘0) ∈ V)
23 lencl 13431 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
24 df-ne 2897 . . . . . . 7 ((♯‘𝑊) ≠ 0 ↔ ¬ (♯‘𝑊) = 0)
25 elnnne0 11419 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0))
2625simplbi2 656 . . . . . . 7 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) ≠ 0 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
2724, 26syl5bir 233 . . . . . 6 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (¬ (♯‘𝑊) = 0 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
2823, 27syl 17 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (¬ (♯‘𝑊) = 0 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
2928impcom 445 . . . 4 ((¬ (♯‘𝑊) = 0 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
30 lbfzo0 12623 . . . 4 (0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
3129, 30sylibr 224 . . 3 ((¬ (♯‘𝑊) = 0 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
32 ccats1val1 13521 . . 3 ((𝑊 ∈ Word V ∧ (𝑊‘0) ∈ V ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
3321, 22, 31, 32syl3anc 1439 . 2 ((¬ (♯‘𝑊) = 0 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
3419, 33pm2.61ian 866 1 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1596  wcel 2103  wne 2896  Vcvv 3304  c0 4023  cfv 6001  (class class class)co 6765  0cc0 10049  cn 11133  0cn0 11405  ..^cfzo 12580  chash 13232  Word cword 13398   ++ cconcat 13400  ⟨“cs1 13401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-oadd 7684  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-card 8878  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-nn 11134  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-hash 13233  df-word 13406  df-concat 13408  df-s1 13409
This theorem is referenced by:  clwwlknonwwlknonb  27175
  Copyright terms: Public domain W3C validator