Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccat2s1fvw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccat2s1fvw 13353
 Description: Extract a symbol of a word from the concatenation of the word with two single symbols. (Contributed by AV, 22-Sep-2018.) (Revised by AV, 13-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 1-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
ccat2s1fvw (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (#‘𝑊)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝐼) = (𝑊𝐼))

Proof of Theorem ccat2s1fvw
StepHypRef Expression
1 simpl1 1062 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (#‘𝑊)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2 simprl 793 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (#‘𝑊)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝑋𝑉)
3 simpr 477 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → 𝑌𝑉)
43adantl 482 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (#‘𝑊)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝑌𝑉)
5 ccatw2s1ass 13345 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) = (𝑊 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)))
61, 2, 4, 5syl3anc 1323 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (#‘𝑊)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) = (𝑊 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)))
76fveq1d 6150 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (#‘𝑊)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝐼) = ((𝑊 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩))‘𝐼))
8 ccat2s1cl 13336 . . . 4 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ Word 𝑉)
98adantl 482 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (#‘𝑊)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ Word 𝑉)
10 simp2 1060 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (#‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ℕ0)
11 lencl 13263 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
12113ad2ant1 1080 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (#‘𝑊)) → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
13 nn0ge0 11262 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐼)
1413adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐼)
15 0red 9985 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
16 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℕ0)
1716nn0red 11296 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℝ)
1811nn0red 11296 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑊) ∈ ℝ)
1918adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0) → (#‘𝑊) ∈ ℝ)
20 lelttr 10072 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐼𝐼 < (#‘𝑊)) → 0 < (#‘𝑊)))
2115, 17, 19, 20syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0) → ((0 ≤ 𝐼𝐼 < (#‘𝑊)) → 0 < (#‘𝑊)))
2214, 21mpand 710 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼 < (#‘𝑊) → 0 < (#‘𝑊)))
23223impia 1258 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (#‘𝑊)) → 0 < (#‘𝑊))
24 elnnnn0b 11281 . . . . . . 7 ((#‘𝑊) ∈ ℕ ↔ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 0 < (#‘𝑊)))
2512, 23, 24sylanbrc 697 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (#‘𝑊)) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
26 simp3 1061 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (#‘𝑊)) → 𝐼 < (#‘𝑊))
2710, 25, 263jca 1240 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (#‘𝑊)) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (#‘𝑊)))
2827adantr 481 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (#‘𝑊)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (#‘𝑊)))
29 elfzo0 12449 . . . 4 (𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (#‘𝑊)))
3028, 29sylibr 224 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (#‘𝑊)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊)))
31 ccatval1 13300 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝑊 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩))‘𝐼) = (𝑊𝐼))
321, 9, 30, 31syl3anc 1323 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (#‘𝑊)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → ((𝑊 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩))‘𝐼) = (𝑊𝐼))
337, 32eqtrd 2655 1 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (#‘𝑊)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝐼) = (𝑊𝐼))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   class class class wbr 4613  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  ℝcr 9879  0cc0 9880   < clt 10018   ≤ cle 10019  ℕcn 10964  ℕ0cn0 11236  ..^cfzo 12406  #chash 13057  Word cword 13230   ++ cconcat 13232  ⟨“cs1 13233 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-hash 13058  df-word 13238  df-concat 13240  df-s1 13241 This theorem is referenced by:  ccat2s1fst  13354  numclwwlkovf2ex  27075
 Copyright terms: Public domain W3C validator