Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccat2s1p2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccat2s1p2 13339
 Description: Extract the second of two concatenated singleton words. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
ccat2s1p2 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)‘1) = 𝑌)

Proof of Theorem ccat2s1p2
StepHypRef Expression
1 s1cl 13316 . . . 4 (𝑋𝑉 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
21adantr 481 . . 3 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
3 s1cl 13316 . . . 4 (𝑌𝑉 → ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉)
43adantl 482 . . 3 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉)
5 1z 11352 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
6 2z 11354 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
7 1lt2 11139 . . . . . 6 1 < 2
8 fzolb 12414 . . . . . 6 (1 ∈ (1..^2) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 1 < 2))
95, 6, 7, 8mpbir3an 1242 . . . . 5 1 ∈ (1..^2)
10 s1len 13319 . . . . . 6 (#‘⟨“𝑋”⟩) = 1
11 s1len 13319 . . . . . . . 8 (#‘⟨“𝑌”⟩) = 1
1210, 11oveq12i 6617 . . . . . . 7 ((#‘⟨“𝑋”⟩) + (#‘⟨“𝑌”⟩)) = (1 + 1)
13 1p1e2 11079 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
1412, 13eqtri 2648 . . . . . 6 ((#‘⟨“𝑋”⟩) + (#‘⟨“𝑌”⟩)) = 2
1510, 14oveq12i 6617 . . . . 5 ((#‘⟨“𝑋”⟩)..^((#‘⟨“𝑋”⟩) + (#‘⟨“𝑌”⟩))) = (1..^2)
169, 15eleqtrri 2703 . . . 4 1 ∈ ((#‘⟨“𝑋”⟩)..^((#‘⟨“𝑋”⟩) + (#‘⟨“𝑌”⟩)))
1716a1i 11 . . 3 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → 1 ∈ ((#‘⟨“𝑋”⟩)..^((#‘⟨“𝑋”⟩) + (#‘⟨“𝑌”⟩))))
18 ccatval2 13296 . . 3 ((⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ∈ ((#‘⟨“𝑋”⟩)..^((#‘⟨“𝑋”⟩) + (#‘⟨“𝑌”⟩)))) → ((⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)‘1) = (⟨“𝑌”⟩‘(1 − (#‘⟨“𝑋”⟩))))
192, 4, 17, 18syl3anc 1323 . 2 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)‘1) = (⟨“𝑌”⟩‘(1 − (#‘⟨“𝑋”⟩))))
2010oveq2i 6616 . . . . . . 7 (1 − (#‘⟨“𝑋”⟩)) = (1 − 1)
21 1m1e0 11034 . . . . . . 7 (1 − 1) = 0
2220, 21eqtri 2648 . . . . . 6 (1 − (#‘⟨“𝑋”⟩)) = 0
2322a1i 11 . . . . 5 (𝑌𝑉 → (1 − (#‘⟨“𝑋”⟩)) = 0)
2423fveq2d 6154 . . . 4 (𝑌𝑉 → (⟨“𝑌”⟩‘(1 − (#‘⟨“𝑋”⟩))) = (⟨“𝑌”⟩‘0))
25 s1fv 13324 . . . 4 (𝑌𝑉 → (⟨“𝑌”⟩‘0) = 𝑌)
2624, 25eqtrd 2660 . . 3 (𝑌𝑉 → (⟨“𝑌”⟩‘(1 − (#‘⟨“𝑋”⟩))) = 𝑌)
2726adantl 482 . 2 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → (⟨“𝑌”⟩‘(1 − (#‘⟨“𝑋”⟩))) = 𝑌)
2819, 27eqtrd 2660 1 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)‘1) = 𝑌)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1992   class class class wbr 4618  ‘cfv 5850  (class class class)co 6605  0cc0 9881  1c1 9882   + caddc 9884   < clt 10019   − cmin 10211  2c2 11015  ℤcz 11322  ..^cfzo 12403  #chash 13054  Word cword 13225   ++ cconcat 13227  ⟨“cs1 13228 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-card 8710  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-hash 13055  df-word 13233  df-concat 13235  df-s1 13236 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator