MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccatass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccatass 13310
Description: Associative law for concatenation of words. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ccatass ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈) = (𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈)))

Proof of Theorem ccatass
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ccatcl 13298 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵)
2 ccatcl 13298 . . . . 5 (((𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈) ∈ Word 𝐵)
31, 2stoic3 1698 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈) ∈ Word 𝐵)
4 wrdf 13249 . . . 4 (((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈) ∈ Word 𝐵 → ((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈):(0..^(#‘((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈)))⟶𝐵)
5 ffn 6002 . . . 4 (((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈):(0..^(#‘((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈)))⟶𝐵 → ((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈) Fn (0..^(#‘((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈))))
63, 4, 53syl 18 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈) Fn (0..^(#‘((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈))))
7 ccatlen 13299 . . . . . . 7 (((𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (#‘((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈)) = ((#‘(𝑆 ++ 𝑇)) + (#‘𝑈)))
81, 7stoic3 1698 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (#‘((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈)) = ((#‘(𝑆 ++ 𝑇)) + (#‘𝑈)))
9 ccatlen 13299 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (#‘(𝑆 ++ 𝑇)) = ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))
1093adant3 1079 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (#‘(𝑆 ++ 𝑇)) = ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))
1110oveq1d 6619 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((#‘(𝑆 ++ 𝑇)) + (#‘𝑈)) = (((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) + (#‘𝑈)))
128, 11eqtrd 2655 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (#‘((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈)) = (((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) + (#‘𝑈)))
1312oveq2d 6620 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (0..^(#‘((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈))) = (0..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) + (#‘𝑈))))
1413fneq2d 5940 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈) Fn (0..^(#‘((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈))) ↔ ((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈) Fn (0..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) + (#‘𝑈)))))
156, 14mpbid 222 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈) Fn (0..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) + (#‘𝑈))))
16 simp1 1059 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → 𝑆 ∈ Word 𝐵)
17 ccatcl 13298 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (𝑇 ++ 𝑈) ∈ Word 𝐵)
18173adant1 1077 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (𝑇 ++ 𝑈) ∈ Word 𝐵)
19 ccatcl 13298 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ (𝑇 ++ 𝑈) ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈)) ∈ Word 𝐵)
2016, 18, 19syl2anc 692 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈)) ∈ Word 𝐵)
21 wrdf 13249 . . . 4 ((𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈)) ∈ Word 𝐵 → (𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈)):(0..^(#‘(𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈))))⟶𝐵)
22 ffn 6002 . . . 4 ((𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈)):(0..^(#‘(𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈))))⟶𝐵 → (𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈)) Fn (0..^(#‘(𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈)))))
2320, 21, 223syl 18 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈)) Fn (0..^(#‘(𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈)))))
24 ccatlen 13299 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (#‘(𝑇 ++ 𝑈)) = ((#‘𝑇) + (#‘𝑈)))
25243adant1 1077 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (#‘(𝑇 ++ 𝑈)) = ((#‘𝑇) + (#‘𝑈)))
2625oveq2d 6620 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((#‘𝑆) + (#‘(𝑇 ++ 𝑈))) = ((#‘𝑆) + ((#‘𝑇) + (#‘𝑈))))
27 ccatlen 13299 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ (𝑇 ++ 𝑈) ∈ Word 𝐵) → (#‘(𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈))) = ((#‘𝑆) + (#‘(𝑇 ++ 𝑈))))
2816, 18, 27syl2anc 692 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (#‘(𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈))) = ((#‘𝑆) + (#‘(𝑇 ++ 𝑈))))
29 lencl 13263 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (#‘𝑆) ∈ ℕ0)
30293ad2ant1 1080 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (#‘𝑆) ∈ ℕ0)
3130nn0cnd 11297 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (#‘𝑆) ∈ ℂ)
32 lencl 13263 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ Word 𝐵 → (#‘𝑇) ∈ ℕ0)
33323ad2ant2 1081 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (#‘𝑇) ∈ ℕ0)
3433nn0cnd 11297 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (#‘𝑇) ∈ ℂ)
35 lencl 13263 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ Word 𝐵 → (#‘𝑈) ∈ ℕ0)
36353ad2ant3 1082 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (#‘𝑈) ∈ ℕ0)
3736nn0cnd 11297 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (#‘𝑈) ∈ ℂ)
3831, 34, 37addassd 10006 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) + (#‘𝑈)) = ((#‘𝑆) + ((#‘𝑇) + (#‘𝑈))))
3926, 28, 383eqtr4d 2665 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (#‘(𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈))) = (((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) + (#‘𝑈)))
4039oveq2d 6620 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (0..^(#‘(𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈)))) = (0..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) + (#‘𝑈))))
4140fneq2d 5940 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈)) Fn (0..^(#‘(𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈)))) ↔ (𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈)) Fn (0..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) + (#‘𝑈)))))
4223, 41mpbid 222 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈)) Fn (0..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) + (#‘𝑈))))
4330nn0zd 11424 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (#‘𝑆) ∈ ℤ)
44 fzospliti 12441 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) + (#‘𝑈))) ∧ (#‘𝑆) ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)) ∨ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) + (#‘𝑈)))))
4544ancoms 469 . . . 4 (((#‘𝑆) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) + (#‘𝑈)))) → (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)) ∨ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) + (#‘𝑈)))))
4643, 45sylan 488 . . 3 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) + (#‘𝑈)))) → (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)) ∨ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) + (#‘𝑈)))))
47 simpl1 1062 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → 𝑆 ∈ Word 𝐵)
48 simpl2 1063 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → 𝑇 ∈ Word 𝐵)
49 simpr 477 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)))
50 ccatval1 13300 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) = (𝑆𝑥))
5147, 48, 49, 50syl3anc 1323 . . . . 5 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) = (𝑆𝑥))
5213adant3 1079 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵)
5352adantr 481 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → (𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵)
54 simpl3 1064 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → 𝑈 ∈ Word 𝐵)
55 uzid 11646 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝑆) ∈ ℤ → (#‘𝑆) ∈ (ℤ‘(#‘𝑆)))
5643, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (#‘𝑆) ∈ (ℤ‘(#‘𝑆)))
57 uzaddcl 11688 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝑆) ∈ (ℤ‘(#‘𝑆)) ∧ (#‘𝑇) ∈ ℕ0) → ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ (ℤ‘(#‘𝑆)))
5856, 33, 57syl2anc 692 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ (ℤ‘(#‘𝑆)))
59 fzoss2 12437 . . . . . . . . 9 (((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ (ℤ‘(#‘𝑆)) → (0..^(#‘𝑆)) ⊆ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))))
6058, 59syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (0..^(#‘𝑆)) ⊆ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))))
6110oveq2d 6620 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (0..^(#‘(𝑆 ++ 𝑇))) = (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))))
6260, 61sseqtr4d 3621 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (0..^(#‘𝑆)) ⊆ (0..^(#‘(𝑆 ++ 𝑇))))
6362sselda 3583 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 ++ 𝑇))))
64 ccatval1 13300 . . . . . 6 (((𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 ++ 𝑇)))) → (((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈)‘𝑥) = ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥))
6553, 54, 63, 64syl3anc 1323 . . . . 5 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → (((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈)‘𝑥) = ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥))
6618adantr 481 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → (𝑇 ++ 𝑈) ∈ Word 𝐵)
67 ccatval1 13300 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ (𝑇 ++ 𝑈) ∈ Word 𝐵𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → ((𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈))‘𝑥) = (𝑆𝑥))
6847, 66, 49, 67syl3anc 1323 . . . . 5 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → ((𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈))‘𝑥) = (𝑆𝑥))
6951, 65, 683eqtr4d 2665 . . . 4 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → (((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈)‘𝑥) = ((𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈))‘𝑥))
7033nn0zd 11424 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (#‘𝑇) ∈ ℤ)
7143, 70zaddcld 11430 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ ℤ)
72 fzospliti 12441 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) + (#‘𝑈))) ∧ ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ∨ 𝑥 ∈ (((#‘𝑆) + (#‘𝑇))..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) + (#‘𝑈)))))
7372ancoms 469 . . . . . 6 ((((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) + (#‘𝑈)))) → (𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ∨ 𝑥 ∈ (((#‘𝑆) + (#‘𝑇))..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) + (#‘𝑈)))))
7471, 73sylan 488 . . . . 5 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) + (#‘𝑈)))) → (𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ∨ 𝑥 ∈ (((#‘𝑆) + (#‘𝑇))..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) + (#‘𝑈)))))
75 simpl1 1062 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → 𝑆 ∈ Word 𝐵)
76 simpl2 1063 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → 𝑇 ∈ Word 𝐵)
77 simpr 477 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))))
78 ccatval2 13301 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) = (𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆))))
7975, 76, 77, 78syl3anc 1323 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) = (𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆))))
80 simpl3 1064 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → 𝑈 ∈ Word 𝐵)
81 fzosubel3 12469 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ∧ (#‘𝑇) ∈ ℤ) → (𝑥 − (#‘𝑆)) ∈ (0..^(#‘𝑇)))
8281ancoms 469 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝑇) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → (𝑥 − (#‘𝑆)) ∈ (0..^(#‘𝑇)))
8370, 82sylan 488 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → (𝑥 − (#‘𝑆)) ∈ (0..^(#‘𝑇)))
84 ccatval1 13300 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵 ∧ (𝑥 − (#‘𝑆)) ∈ (0..^(#‘𝑇))) → ((𝑇 ++ 𝑈)‘(𝑥 − (#‘𝑆))) = (𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆))))
8576, 80, 83, 84syl3anc 1323 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → ((𝑇 ++ 𝑈)‘(𝑥 − (#‘𝑆))) = (𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆))))
8679, 85eqtr4d 2658 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) = ((𝑇 ++ 𝑈)‘(𝑥 − (#‘𝑆))))
8752adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → (𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵)
88 fzoss1 12436 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑆) ∈ (ℤ‘0) → ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ⊆ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))))
89 nn0uz 11666 . . . . . . . . . . . 12 0 = (ℤ‘0)
9088, 89eleq2s 2716 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝑆) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ⊆ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))))
9130, 90syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ⊆ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))))
9291, 61sseqtr4d 3621 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ⊆ (0..^(#‘(𝑆 ++ 𝑇))))
9392sselda 3583 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 ++ 𝑇))))
9487, 80, 93, 64syl3anc 1323 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → (((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈)‘𝑥) = ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥))
9518adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → (𝑇 ++ 𝑈) ∈ Word 𝐵)
96 uzid 11646 . . . . . . . . . . . . 13 (((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ ℤ → ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ (ℤ‘((#‘𝑆) + (#‘𝑇))))
9771, 96syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ (ℤ‘((#‘𝑆) + (#‘𝑇))))
98 uzaddcl 11688 . . . . . . . . . . . 12 ((((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ (ℤ‘((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ∧ (#‘𝑈) ∈ ℕ0) → (((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) + (#‘𝑈)) ∈ (ℤ‘((#‘𝑆) + (#‘𝑇))))
9997, 36, 98syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) + (#‘𝑈)) ∈ (ℤ‘((#‘𝑆) + (#‘𝑇))))
100 fzoss2 12437 . . . . . . . . . . 11 ((((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) + (#‘𝑈)) ∈ (ℤ‘((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) → ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ⊆ ((#‘𝑆)..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) + (#‘𝑈))))
10199, 100syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ⊆ ((#‘𝑆)..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) + (#‘𝑈))))
10226, 38eqtr4d 2658 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((#‘𝑆) + (#‘(𝑇 ++ 𝑈))) = (((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) + (#‘𝑈)))
103102oveq2d 6620 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘(𝑇 ++ 𝑈)))) = ((#‘𝑆)..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) + (#‘𝑈))))
104101, 103sseqtr4d 3621 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ⊆ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘(𝑇 ++ 𝑈)))))
105104sselda 3583 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘(𝑇 ++ 𝑈)))))
106 ccatval2 13301 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ (𝑇 ++ 𝑈) ∈ Word 𝐵𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘(𝑇 ++ 𝑈))))) → ((𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈))‘𝑥) = ((𝑇 ++ 𝑈)‘(𝑥 − (#‘𝑆))))
10775, 95, 105, 106syl3anc 1323 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → ((𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈))‘𝑥) = ((𝑇 ++ 𝑈)‘(𝑥 − (#‘𝑆))))
10886, 94, 1073eqtr4d 2665 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → (((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈)‘𝑥) = ((𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈))‘𝑥))
10910oveq2d 6620 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (𝑥 − (#‘(𝑆 ++ 𝑇))) = (𝑥 − ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))))
110109adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((#‘𝑆) + (#‘𝑇))..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) + (#‘𝑈)))) → (𝑥 − (#‘(𝑆 ++ 𝑇))) = (𝑥 − ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))))
111 elfzoelz 12411 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (((#‘𝑆) + (#‘𝑇))..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) + (#‘𝑈))) → 𝑥 ∈ ℤ)
112111zcnd 11427 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (((#‘𝑆) + (#‘𝑇))..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) + (#‘𝑈))) → 𝑥 ∈ ℂ)
113112adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((#‘𝑆) + (#‘𝑇))..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) + (#‘𝑈)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
11431adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((#‘𝑆) + (#‘𝑇))..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) + (#‘𝑈)))) → (#‘𝑆) ∈ ℂ)
11534adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((#‘𝑆) + (#‘𝑇))..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) + (#‘𝑈)))) → (#‘𝑇) ∈ ℂ)
116113, 114, 115subsub4d 10367 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((#‘𝑆) + (#‘𝑇))..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) + (#‘𝑈)))) → ((𝑥 − (#‘𝑆)) − (#‘𝑇)) = (𝑥 − ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))))
117110, 116eqtr4d 2658 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((#‘𝑆) + (#‘𝑇))..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) + (#‘𝑈)))) → (𝑥 − (#‘(𝑆 ++ 𝑇))) = ((𝑥 − (#‘𝑆)) − (#‘𝑇)))
118117fveq2d 6152 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((#‘𝑆) + (#‘𝑇))..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) + (#‘𝑈)))) → (𝑈‘(𝑥 − (#‘(𝑆 ++ 𝑇)))) = (𝑈‘((𝑥 − (#‘𝑆)) − (#‘𝑇))))
119 simpl2 1063 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((#‘𝑆) + (#‘𝑇))..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) + (#‘𝑈)))) → 𝑇 ∈ Word 𝐵)
120 simpl3 1064 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((#‘𝑆) + (#‘𝑇))..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) + (#‘𝑈)))) → 𝑈 ∈ Word 𝐵)
12138oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (((#‘𝑆) + (#‘𝑇))..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) + (#‘𝑈))) = (((#‘𝑆) + (#‘𝑇))..^((#‘𝑆) + ((#‘𝑇) + (#‘𝑈)))))
122121eleq2d 2684 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (𝑥 ∈ (((#‘𝑆) + (#‘𝑇))..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) + (#‘𝑈))) ↔ 𝑥 ∈ (((#‘𝑆) + (#‘𝑇))..^((#‘𝑆) + ((#‘𝑇) + (#‘𝑈))))))
123122biimpa 501 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((#‘𝑆) + (#‘𝑇))..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) + (#‘𝑈)))) → 𝑥 ∈ (((#‘𝑆) + (#‘𝑇))..^((#‘𝑆) + ((#‘𝑇) + (#‘𝑈)))))
12443adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((#‘𝑆) + (#‘𝑇))..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) + (#‘𝑈)))) → (#‘𝑆) ∈ ℤ)
12570adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((#‘𝑆) + (#‘𝑇))..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) + (#‘𝑈)))) → (#‘𝑇) ∈ ℤ)
12636nn0zd 11424 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (#‘𝑈) ∈ ℤ)
12770, 126zaddcld 11430 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((#‘𝑇) + (#‘𝑈)) ∈ ℤ)
128127adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((#‘𝑆) + (#‘𝑇))..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) + (#‘𝑈)))) → ((#‘𝑇) + (#‘𝑈)) ∈ ℤ)
129 fzosubel2 12468 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (((#‘𝑆) + (#‘𝑇))..^((#‘𝑆) + ((#‘𝑇) + (#‘𝑈)))) ∧ ((#‘𝑆) ∈ ℤ ∧ (#‘𝑇) ∈ ℤ ∧ ((#‘𝑇) + (#‘𝑈)) ∈ ℤ)) → (𝑥 − (#‘𝑆)) ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑈))))
130123, 124, 125, 128, 129syl13anc 1325 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((#‘𝑆) + (#‘𝑇))..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) + (#‘𝑈)))) → (𝑥 − (#‘𝑆)) ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑈))))
131 ccatval2 13301 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵 ∧ (𝑥 − (#‘𝑆)) ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑈)))) → ((𝑇 ++ 𝑈)‘(𝑥 − (#‘𝑆))) = (𝑈‘((𝑥 − (#‘𝑆)) − (#‘𝑇))))
132119, 120, 130, 131syl3anc 1323 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((#‘𝑆) + (#‘𝑇))..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) + (#‘𝑈)))) → ((𝑇 ++ 𝑈)‘(𝑥 − (#‘𝑆))) = (𝑈‘((𝑥 − (#‘𝑆)) − (#‘𝑇))))
133118, 132eqtr4d 2658 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((#‘𝑆) + (#‘𝑇))..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) + (#‘𝑈)))) → (𝑈‘(𝑥 − (#‘(𝑆 ++ 𝑇)))) = ((𝑇 ++ 𝑈)‘(𝑥 − (#‘𝑆))))
13452adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((#‘𝑆) + (#‘𝑇))..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) + (#‘𝑈)))) → (𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵)
13510, 11oveq12d 6622 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((#‘(𝑆 ++ 𝑇))..^((#‘(𝑆 ++ 𝑇)) + (#‘𝑈))) = (((#‘𝑆) + (#‘𝑇))..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) + (#‘𝑈))))
136135eleq2d 2684 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (𝑥 ∈ ((#‘(𝑆 ++ 𝑇))..^((#‘(𝑆 ++ 𝑇)) + (#‘𝑈))) ↔ 𝑥 ∈ (((#‘𝑆) + (#‘𝑇))..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) + (#‘𝑈)))))
137136biimpar 502 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((#‘𝑆) + (#‘𝑇))..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) + (#‘𝑈)))) → 𝑥 ∈ ((#‘(𝑆 ++ 𝑇))..^((#‘(𝑆 ++ 𝑇)) + (#‘𝑈))))
138 ccatval2 13301 . . . . . . . 8 (((𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵𝑥 ∈ ((#‘(𝑆 ++ 𝑇))..^((#‘(𝑆 ++ 𝑇)) + (#‘𝑈)))) → (((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈)‘𝑥) = (𝑈‘(𝑥 − (#‘(𝑆 ++ 𝑇)))))
139134, 120, 137, 138syl3anc 1323 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((#‘𝑆) + (#‘𝑇))..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) + (#‘𝑈)))) → (((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈)‘𝑥) = (𝑈‘(𝑥 − (#‘(𝑆 ++ 𝑇)))))
140 simpl1 1062 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((#‘𝑆) + (#‘𝑇))..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) + (#‘𝑈)))) → 𝑆 ∈ Word 𝐵)
14118adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((#‘𝑆) + (#‘𝑇))..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) + (#‘𝑈)))) → (𝑇 ++ 𝑈) ∈ Word 𝐵)
142 fzoss1 12436 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ (ℤ‘(#‘𝑆)) → (((#‘𝑆) + (#‘𝑇))..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) + (#‘𝑈))) ⊆ ((#‘𝑆)..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) + (#‘𝑈))))
14358, 142syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (((#‘𝑆) + (#‘𝑇))..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) + (#‘𝑈))) ⊆ ((#‘𝑆)..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) + (#‘𝑈))))
144143, 103sseqtr4d 3621 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (((#‘𝑆) + (#‘𝑇))..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) + (#‘𝑈))) ⊆ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘(𝑇 ++ 𝑈)))))
145144sselda 3583 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((#‘𝑆) + (#‘𝑇))..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) + (#‘𝑈)))) → 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘(𝑇 ++ 𝑈)))))
146140, 141, 145, 106syl3anc 1323 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((#‘𝑆) + (#‘𝑇))..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) + (#‘𝑈)))) → ((𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈))‘𝑥) = ((𝑇 ++ 𝑈)‘(𝑥 − (#‘𝑆))))
147133, 139, 1463eqtr4d 2665 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((#‘𝑆) + (#‘𝑇))..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) + (#‘𝑈)))) → (((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈)‘𝑥) = ((𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈))‘𝑥))
148108, 147jaodan 825 . . . . 5 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ∨ 𝑥 ∈ (((#‘𝑆) + (#‘𝑇))..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) + (#‘𝑈))))) → (((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈)‘𝑥) = ((𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈))‘𝑥))
14974, 148syldan 487 . . . 4 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) + (#‘𝑈)))) → (((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈)‘𝑥) = ((𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈))‘𝑥))
15069, 149jaodan 825 . . 3 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)) ∨ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) + (#‘𝑈))))) → (((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈)‘𝑥) = ((𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈))‘𝑥))
15146, 150syldan 487 . 2 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) + (#‘𝑈)))) → (((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈)‘𝑥) = ((𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈))‘𝑥))
15215, 42, 151eqfnfvd 6270 1 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈) = (𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wss 3555   Fn wfn 5842  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  0cc0 9880   + caddc 9883  cmin 10210  0cn0 11236  cz 11321  cuz 11631  ..^cfzo 12406  #chash 13057  Word cword 13230   ++ cconcat 13232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-hash 13058  df-word 13238  df-concat 13240
This theorem is referenced by:  ccatw2s1ass  13345  cats1cat  13543  cats2cat  13544  frmdmnd  17317  efginvrel2  18061  efgredleme  18077  efgredlemc  18079  efgcpbllemb  18089  numclwlk1lem2foa  27079  numclwlk1lem2fo  27083  signstfvc  30428
  Copyright terms: Public domain W3C validator