MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccatco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccatco 13381
Description: Mapping of words commutes with concatenation. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ccatco ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑆 ++ 𝑇)) = ((𝐹𝑆) ++ (𝐹𝑇)))

Proof of Theorem ccatco
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lenco 13378 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (#‘(𝐹𝑆)) = (#‘𝑆))
213adant2 1073 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (#‘(𝐹𝑆)) = (#‘𝑆))
3 lenco 13378 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (#‘(𝐹𝑇)) = (#‘𝑇))
433adant1 1072 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (#‘(𝐹𝑇)) = (#‘𝑇))
52, 4oveq12d 6545 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → ((#‘(𝐹𝑆)) + (#‘(𝐹𝑇))) = ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))
65oveq2d 6543 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (0..^((#‘(𝐹𝑆)) + (#‘(𝐹𝑇)))) = (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))))
76mpteq1d 4661 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝐹𝑆)) + (#‘(𝐹𝑇)))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝐹𝑆))), ((𝐹𝑆)‘𝑥), ((𝐹𝑇)‘(𝑥 − (#‘(𝐹𝑆)))))) = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝐹𝑆))), ((𝐹𝑆)‘𝑥), ((𝐹𝑇)‘(𝑥 − (#‘(𝐹𝑆)))))))
82oveq2d 6543 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (0..^(#‘(𝐹𝑆))) = (0..^(#‘𝑆)))
98adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → (0..^(#‘(𝐹𝑆))) = (0..^(#‘𝑆)))
109eleq2d 2673 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → (𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝐹𝑆))) ↔ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))))
1110ifbid 4058 . . . . 5 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → if(𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝐹𝑆))), ((𝐹𝑆)‘𝑥), ((𝐹𝑇)‘(𝑥 − (#‘(𝐹𝑆))))) = if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), ((𝐹𝑆)‘𝑥), ((𝐹𝑇)‘(𝑥 − (#‘(𝐹𝑆))))))
12 wrdf 13114 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ Word 𝐴𝑆:(0..^(#‘𝑆))⟶𝐴)
13123ad2ant1 1075 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → 𝑆:(0..^(#‘𝑆))⟶𝐴)
1413adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → 𝑆:(0..^(#‘𝑆))⟶𝐴)
15 ffn 5944 . . . . . . . . 9 (𝑆:(0..^(#‘𝑆))⟶𝐴𝑆 Fn (0..^(#‘𝑆)))
1614, 15syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → 𝑆 Fn (0..^(#‘𝑆)))
17 fvco2 6168 . . . . . . . 8 ((𝑆 Fn (0..^(#‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → ((𝐹𝑆)‘𝑥) = (𝐹‘(𝑆𝑥)))
1816, 17sylan 487 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → ((𝐹𝑆)‘𝑥) = (𝐹‘(𝑆𝑥)))
19 iftrue 4042 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)) → if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝐹‘(𝑆𝑥)), (𝐹‘(𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆))))) = (𝐹‘(𝑆𝑥)))
2019adantl 481 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝐹‘(𝑆𝑥)), (𝐹‘(𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆))))) = (𝐹‘(𝑆𝑥)))
2118, 20eqtr4d 2647 . . . . . 6 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → ((𝐹𝑆)‘𝑥) = if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝐹‘(𝑆𝑥)), (𝐹‘(𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆))))))
22 wrdf 13114 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ Word 𝐴𝑇:(0..^(#‘𝑇))⟶𝐴)
23223ad2ant2 1076 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → 𝑇:(0..^(#‘𝑇))⟶𝐴)
2423ad2antrr 758 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → 𝑇:(0..^(#‘𝑇))⟶𝐴)
25 ffn 5944 . . . . . . . . 9 (𝑇:(0..^(#‘𝑇))⟶𝐴𝑇 Fn (0..^(#‘𝑇)))
2624, 25syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → 𝑇 Fn (0..^(#‘𝑇)))
27 lencl 13128 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (#‘𝑆) ∈ ℕ0)
2827nn0zd 11315 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (#‘𝑆) ∈ ℤ)
29283ad2ant1 1075 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (#‘𝑆) ∈ ℤ)
30 fzospliti 12327 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ∧ (#‘𝑆) ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)) ∨ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))))
3130ancoms 468 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝑆) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)) ∨ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))))
3229, 31sylan 487 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)) ∨ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))))
3332orcanai 950 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))))
34 lencl 13128 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ Word 𝐴 → (#‘𝑇) ∈ ℕ0)
3534nn0zd 11315 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ Word 𝐴 → (#‘𝑇) ∈ ℤ)
36353ad2ant2 1076 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (#‘𝑇) ∈ ℤ)
3736ad2antrr 758 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → (#‘𝑇) ∈ ℤ)
38 fzosubel3 12354 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ∧ (#‘𝑇) ∈ ℤ) → (𝑥 − (#‘𝑆)) ∈ (0..^(#‘𝑇)))
3933, 37, 38syl2anc 691 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → (𝑥 − (#‘𝑆)) ∈ (0..^(#‘𝑇)))
40 fvco2 6168 . . . . . . . 8 ((𝑇 Fn (0..^(#‘𝑇)) ∧ (𝑥 − (#‘𝑆)) ∈ (0..^(#‘𝑇))) → ((𝐹𝑇)‘(𝑥 − (#‘𝑆))) = (𝐹‘(𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆)))))
4126, 39, 40syl2anc 691 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → ((𝐹𝑇)‘(𝑥 − (#‘𝑆))) = (𝐹‘(𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆)))))
422oveq2d 6543 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝑥 − (#‘(𝐹𝑆))) = (𝑥 − (#‘𝑆)))
4342fveq2d 6092 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → ((𝐹𝑇)‘(𝑥 − (#‘(𝐹𝑆)))) = ((𝐹𝑇)‘(𝑥 − (#‘𝑆))))
4443ad2antrr 758 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → ((𝐹𝑇)‘(𝑥 − (#‘(𝐹𝑆)))) = ((𝐹𝑇)‘(𝑥 − (#‘𝑆))))
45 iffalse 4045 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)) → if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝐹‘(𝑆𝑥)), (𝐹‘(𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆))))) = (𝐹‘(𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆)))))
4645adantl 481 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝐹‘(𝑆𝑥)), (𝐹‘(𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆))))) = (𝐹‘(𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆)))))
4741, 44, 463eqtr4d 2654 . . . . . 6 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → ((𝐹𝑇)‘(𝑥 − (#‘(𝐹𝑆)))) = if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝐹‘(𝑆𝑥)), (𝐹‘(𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆))))))
4821, 47ifeqda 4071 . . . . 5 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), ((𝐹𝑆)‘𝑥), ((𝐹𝑇)‘(𝑥 − (#‘(𝐹𝑆))))) = if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝐹‘(𝑆𝑥)), (𝐹‘(𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆))))))
4911, 48eqtrd 2644 . . . 4 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → if(𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝐹𝑆))), ((𝐹𝑆)‘𝑥), ((𝐹𝑇)‘(𝑥 − (#‘(𝐹𝑆))))) = if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝐹‘(𝑆𝑥)), (𝐹‘(𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆))))))
5049mpteq2dva 4667 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝐹𝑆))), ((𝐹𝑆)‘𝑥), ((𝐹𝑇)‘(𝑥 − (#‘(𝐹𝑆)))))) = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝐹‘(𝑆𝑥)), (𝐹‘(𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆)))))))
517, 50eqtr2d 2645 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝐹‘(𝑆𝑥)), (𝐹‘(𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆)))))) = (𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝐹𝑆)) + (#‘(𝐹𝑇)))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝐹𝑆))), ((𝐹𝑆)‘𝑥), ((𝐹𝑇)‘(𝑥 − (#‘(𝐹𝑆)))))))
5214ffvelrnda 6252 . . . 4 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → (𝑆𝑥) ∈ 𝐴)
5324, 39ffvelrnd 6253 . . . 4 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → (𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆))) ∈ 𝐴)
5452, 53ifclda 4070 . . 3 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆)))) ∈ 𝐴)
55 ccatfval 13160 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (𝑆 ++ 𝑇) = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆))))))
56553adant3 1074 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆))))))
57 simp3 1056 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → 𝐹:𝐴𝐵)
5857feqmptd 6144 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → 𝐹 = (𝑦𝐴 ↦ (𝐹𝑦)))
59 fveq2 6088 . . . 4 (𝑦 = if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆)))) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆))))))
60 fvif 6099 . . . 4 (𝐹‘if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆))))) = if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝐹‘(𝑆𝑥)), (𝐹‘(𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆)))))
6159, 60syl6eq 2660 . . 3 (𝑦 = if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆)))) → (𝐹𝑦) = if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝐹‘(𝑆𝑥)), (𝐹‘(𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆))))))
6254, 56, 58, 61fmptco 6288 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑆 ++ 𝑇)) = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝐹‘(𝑆𝑥)), (𝐹‘(𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆)))))))
63 ffun 5947 . . . . 5 (𝐹:𝐴𝐵 → Fun 𝐹)
64633ad2ant3 1077 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → Fun 𝐹)
65 simp1 1054 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
66 cofunexg 7001 . . . 4 ((Fun 𝐹𝑆 ∈ Word 𝐴) → (𝐹𝑆) ∈ V)
6764, 65, 66syl2anc 691 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹𝑆) ∈ V)
68 simp2 1055 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → 𝑇 ∈ Word 𝐴)
69 cofunexg 7001 . . . 4 ((Fun 𝐹𝑇 ∈ Word 𝐴) → (𝐹𝑇) ∈ V)
7064, 68, 69syl2anc 691 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹𝑇) ∈ V)
71 ccatfval 13160 . . 3 (((𝐹𝑆) ∈ V ∧ (𝐹𝑇) ∈ V) → ((𝐹𝑆) ++ (𝐹𝑇)) = (𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝐹𝑆)) + (#‘(𝐹𝑇)))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝐹𝑆))), ((𝐹𝑆)‘𝑥), ((𝐹𝑇)‘(𝑥 − (#‘(𝐹𝑆)))))))
7267, 70, 71syl2anc 691 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → ((𝐹𝑆) ++ (𝐹𝑇)) = (𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝐹𝑆)) + (#‘(𝐹𝑇)))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝐹𝑆))), ((𝐹𝑆)‘𝑥), ((𝐹𝑇)‘(𝑥 − (#‘(𝐹𝑆)))))))
7351, 62, 723eqtr4d 2654 1 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑆 ++ 𝑇)) = ((𝐹𝑆) ++ (𝐹𝑇)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 382  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  Vcvv 3173  ifcif 4036  cmpt 4638  ccom 5032  Fun wfun 5784   Fn wfn 5785  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  0cc0 9793   + caddc 9796  cmin 10118  cz 11213  ..^cfzo 12292  #chash 12937  Word cword 13095   ++ cconcat 13097
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4694  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-int 4406  df-iun 4452  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-oadd 7429  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-card 8626  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-nn 10871  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-fz 12156  df-fzo 12293  df-hash 12938  df-word 13103  df-concat 13105
This theorem is referenced by:  cats1co  13401  frmdgsum  17171  frmdup1  17173  efginvrel2  17912  frgpuplem  17957  frgpup1  17960  mrsubccat  30463
  Copyright terms: Public domain W3C validator