MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccatlid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccatlid 13404
Description: Concatenation of a word by the empty word on the left. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 1-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
ccatlid (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (∅ ++ 𝑆) = 𝑆)

Proof of Theorem ccatlid
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wrd0 13362 . . . 4 ∅ ∈ Word 𝐵
2 ccatvalfn 13399 . . . 4 ((∅ ∈ Word 𝐵𝑆 ∈ Word 𝐵) → (∅ ++ 𝑆) Fn (0..^((#‘∅) + (#‘𝑆))))
31, 2mpan 706 . . 3 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (∅ ++ 𝑆) Fn (0..^((#‘∅) + (#‘𝑆))))
4 hash0 13196 . . . . . . . 8 (#‘∅) = 0
54oveq1i 6700 . . . . . . 7 ((#‘∅) + (#‘𝑆)) = (0 + (#‘𝑆))
6 lencl 13356 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (#‘𝑆) ∈ ℕ0)
76nn0cnd 11391 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (#‘𝑆) ∈ ℂ)
87addid2d 10275 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (0 + (#‘𝑆)) = (#‘𝑆))
95, 8syl5eq 2697 . . . . . 6 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → ((#‘∅) + (#‘𝑆)) = (#‘𝑆))
109eqcomd 2657 . . . . 5 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (#‘𝑆) = ((#‘∅) + (#‘𝑆)))
1110oveq2d 6706 . . . 4 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (0..^(#‘𝑆)) = (0..^((#‘∅) + (#‘𝑆))))
1211fneq2d 6020 . . 3 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → ((∅ ++ 𝑆) Fn (0..^(#‘𝑆)) ↔ (∅ ++ 𝑆) Fn (0..^((#‘∅) + (#‘𝑆)))))
133, 12mpbird 247 . 2 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (∅ ++ 𝑆) Fn (0..^(#‘𝑆)))
14 wrdfn 13351 . 2 (𝑆 ∈ Word 𝐵𝑆 Fn (0..^(#‘𝑆)))
154a1i 11 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (#‘∅) = 0)
1615, 9oveq12d 6708 . . . . . 6 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → ((#‘∅)..^((#‘∅) + (#‘𝑆))) = (0..^(#‘𝑆)))
1716eleq2d 2716 . . . . 5 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (𝑥 ∈ ((#‘∅)..^((#‘∅) + (#‘𝑆))) ↔ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))))
1817biimpar 501 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → 𝑥 ∈ ((#‘∅)..^((#‘∅) + (#‘𝑆))))
19 ccatval2 13396 . . . . 5 ((∅ ∈ Word 𝐵𝑆 ∈ Word 𝐵𝑥 ∈ ((#‘∅)..^((#‘∅) + (#‘𝑆)))) → ((∅ ++ 𝑆)‘𝑥) = (𝑆‘(𝑥 − (#‘∅))))
201, 19mp3an1 1451 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑥 ∈ ((#‘∅)..^((#‘∅) + (#‘𝑆)))) → ((∅ ++ 𝑆)‘𝑥) = (𝑆‘(𝑥 − (#‘∅))))
2118, 20syldan 486 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → ((∅ ++ 𝑆)‘𝑥) = (𝑆‘(𝑥 − (#‘∅))))
224oveq2i 6701 . . . . 5 (𝑥 − (#‘∅)) = (𝑥 − 0)
23 elfzoelz 12509 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)) → 𝑥 ∈ ℤ)
2423adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → 𝑥 ∈ ℤ)
2524zcnd 11521 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → 𝑥 ∈ ℂ)
2625subid1d 10419 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → (𝑥 − 0) = 𝑥)
2722, 26syl5eq 2697 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → (𝑥 − (#‘∅)) = 𝑥)
2827fveq2d 6233 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → (𝑆‘(𝑥 − (#‘∅))) = (𝑆𝑥))
2921, 28eqtrd 2685 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → ((∅ ++ 𝑆)‘𝑥) = (𝑆𝑥))
3013, 14, 29eqfnfvd 6354 1 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (∅ ++ 𝑆) = 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  c0 3948   Fn wfn 5921  cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974   + caddc 9977  cmin 10304  cz 11415  ..^cfzo 12504  #chash 13157  Word cword 13323   ++ cconcat 13325
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-concat 13333
This theorem is referenced by:  ccatidid  13408  ccat1st1st  13448  swrdccat  13539  swrdccat3a  13540  s0s1  13713  gsumccat  17425  frmdmnd  17443  frmd0  17444  efginvrel2  18186  efgcpbl2  18216  frgp0  18219  frgpnabllem1  18322  signstfvneq0  30777  elmrsubrn  31543
  Copyright terms: Public domain W3C validator