MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccatrn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccatrn 13306
Description: The range of a concatenated word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ccatrn ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → ran (𝑆 ++ 𝑇) = (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))

Proof of Theorem ccatrn
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ccatvalfn 13299 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) Fn (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))))
2 lencl 13258 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (#‘𝑆) ∈ ℕ0)
32adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (#‘𝑆) ∈ ℕ0)
4 nn0uz 11666 . . . . . . . . . . 11 0 = (ℤ‘0)
53, 4syl6eleq 2714 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (#‘𝑆) ∈ (ℤ‘0))
63nn0zd 11424 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (#‘𝑆) ∈ ℤ)
7 uzid 11646 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑆) ∈ ℤ → (#‘𝑆) ∈ (ℤ‘(#‘𝑆)))
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (#‘𝑆) ∈ (ℤ‘(#‘𝑆)))
9 lencl 13258 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ Word 𝐵 → (#‘𝑇) ∈ ℕ0)
109adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (#‘𝑇) ∈ ℕ0)
11 uzaddcl 11688 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝑆) ∈ (ℤ‘(#‘𝑆)) ∧ (#‘𝑇) ∈ ℕ0) → ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ (ℤ‘(#‘𝑆)))
128, 10, 11syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ (ℤ‘(#‘𝑆)))
13 elfzuzb 12275 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝑆) ∈ (0...((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ↔ ((#‘𝑆) ∈ (ℤ‘0) ∧ ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ (ℤ‘(#‘𝑆))))
145, 12, 13sylanbrc 697 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (#‘𝑆) ∈ (0...((#‘𝑆) + (#‘𝑇))))
15 fzosplit 12439 . . . . . . . . 9 ((#‘𝑆) ∈ (0...((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) → (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) = ((0..^(#‘𝑆)) ∪ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))))
1614, 15syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) = ((0..^(#‘𝑆)) ∪ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))))
1716eleq2d 2689 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ↔ 𝑥 ∈ ((0..^(#‘𝑆)) ∪ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))))))
18 elun 3736 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((0..^(#‘𝑆)) ∪ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) ↔ (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)) ∨ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))))
1917, 18syl6bb 276 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ↔ (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)) ∨ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))))))
20 ccatval1 13295 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) = (𝑆𝑥))
21203expa 1262 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) = (𝑆𝑥))
22 ssun1 3759 . . . . . . . . . 10 ran 𝑆 ⊆ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇)
23 simpl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → 𝑆 ∈ Word 𝐵)
24 wrdf 13244 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ Word 𝐵𝑆:(0..^(#‘𝑆))⟶𝐵)
25 ffn 6004 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆:(0..^(#‘𝑆))⟶𝐵𝑆 Fn (0..^(#‘𝑆)))
2623, 24, 253syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → 𝑆 Fn (0..^(#‘𝑆)))
27 fnfvelrn 6313 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 Fn (0..^(#‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → (𝑆𝑥) ∈ ran 𝑆)
2826, 27sylan 488 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → (𝑆𝑥) ∈ ran 𝑆)
2922, 28sseldi 3586 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → (𝑆𝑥) ∈ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))
3021, 29eqeltrd 2704 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) ∈ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))
31 ccatval2 13296 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) = (𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆))))
32313expa 1262 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) = (𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆))))
33 ssun2 3760 . . . . . . . . . 10 ran 𝑇 ⊆ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇)
34 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → 𝑇 ∈ Word 𝐵)
35 wrdf 13244 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ Word 𝐵𝑇:(0..^(#‘𝑇))⟶𝐵)
36 ffn 6004 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇:(0..^(#‘𝑇))⟶𝐵𝑇 Fn (0..^(#‘𝑇)))
3734, 35, 363syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → 𝑇 Fn (0..^(#‘𝑇)))
3837adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → 𝑇 Fn (0..^(#‘𝑇)))
39 elfzouz 12412 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) → 𝑥 ∈ (ℤ‘(#‘𝑆)))
4039adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → 𝑥 ∈ (ℤ‘(#‘𝑆)))
41 uznn0sub 11663 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (ℤ‘(#‘𝑆)) → (𝑥 − (#‘𝑆)) ∈ ℕ0)
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → (𝑥 − (#‘𝑆)) ∈ ℕ0)
4342, 4syl6eleq 2714 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → (𝑥 − (#‘𝑆)) ∈ (ℤ‘0))
4410nn0zd 11424 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (#‘𝑇) ∈ ℤ)
4544adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → (#‘𝑇) ∈ ℤ)
46 elfzolt2 12417 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) → 𝑥 < ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))
4746adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → 𝑥 < ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))
48 elfzoelz 12408 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) → 𝑥 ∈ ℤ)
4948adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → 𝑥 ∈ ℤ)
5049zred 11426 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
516adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → (#‘𝑆) ∈ ℤ)
5251zred 11426 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → (#‘𝑆) ∈ ℝ)
5345zred 11426 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → (#‘𝑇) ∈ ℝ)
5450, 52, 53ltsubadd2d 10570 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → ((𝑥 − (#‘𝑆)) < (#‘𝑇) ↔ 𝑥 < ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))))
5547, 54mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → (𝑥 − (#‘𝑆)) < (#‘𝑇))
56 elfzo2 12411 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 − (#‘𝑆)) ∈ (0..^(#‘𝑇)) ↔ ((𝑥 − (#‘𝑆)) ∈ (ℤ‘0) ∧ (#‘𝑇) ∈ ℤ ∧ (𝑥 − (#‘𝑆)) < (#‘𝑇)))
5743, 45, 55, 56syl3anbrc 1244 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → (𝑥 − (#‘𝑆)) ∈ (0..^(#‘𝑇)))
58 fnfvelrn 6313 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 Fn (0..^(#‘𝑇)) ∧ (𝑥 − (#‘𝑆)) ∈ (0..^(#‘𝑇))) → (𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆))) ∈ ran 𝑇)
5938, 57, 58syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → (𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆))) ∈ ran 𝑇)
6033, 59sseldi 3586 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → (𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆))) ∈ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))
6132, 60eqeltrd 2704 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) ∈ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))
6230, 61jaodan 825 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)) ∨ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) ∈ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))
6362ex 450 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)) ∨ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) ∈ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇)))
6419, 63sylbid 230 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) ∈ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇)))
6564ralrimiv 2964 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) ∈ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))
66 ffnfv 6344 . . . 4 ((𝑆 ++ 𝑇):(0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))⟶(ran 𝑆 ∪ ran 𝑇) ↔ ((𝑆 ++ 𝑇) Fn (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) ∈ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇)))
671, 65, 66sylanbrc 697 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇):(0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))⟶(ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))
68 frn 6012 . . 3 ((𝑆 ++ 𝑇):(0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))⟶(ran 𝑆 ∪ ran 𝑇) → ran (𝑆 ++ 𝑇) ⊆ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))
6967, 68syl 17 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → ran (𝑆 ++ 𝑇) ⊆ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))
701adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → (𝑆 ++ 𝑇) Fn (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))))
71 fzoss2 12434 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ (ℤ‘(#‘𝑆)) → (0..^(#‘𝑆)) ⊆ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))))
7212, 71syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (0..^(#‘𝑆)) ⊆ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))))
7372sselda 3588 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))))
74 fnfvelrn 6313 . . . . . . . 8 (((𝑆 ++ 𝑇) Fn (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇))
7570, 73, 74syl2anc 692 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇))
7621, 75eqeltrrd 2705 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → (𝑆𝑥) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇))
7776ralrimiva 2965 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → ∀𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))(𝑆𝑥) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇))
78 ffnfv 6344 . . . . 5 (𝑆:(0..^(#‘𝑆))⟶ran (𝑆 ++ 𝑇) ↔ (𝑆 Fn (0..^(#‘𝑆)) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))(𝑆𝑥) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇)))
7926, 77, 78sylanbrc 697 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → 𝑆:(0..^(#‘𝑆))⟶ran (𝑆 ++ 𝑇))
80 frn 6012 . . . 4 (𝑆:(0..^(#‘𝑆))⟶ran (𝑆 ++ 𝑇) → ran 𝑆 ⊆ ran (𝑆 ++ 𝑇))
8179, 80syl 17 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → ran 𝑆 ⊆ ran (𝑆 ++ 𝑇))
82 ccatval3 13297 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(𝑥 + (#‘𝑆))) = (𝑇𝑥))
83823expa 1262 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(𝑥 + (#‘𝑆))) = (𝑇𝑥))
841adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → (𝑆 ++ 𝑇) Fn (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))))
85 elfzouz 12412 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇)) → 𝑥 ∈ (ℤ‘0))
8685adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → 𝑥 ∈ (ℤ‘0))
8786, 4syl6eleqr 2715 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → 𝑥 ∈ ℕ0)
883adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → (#‘𝑆) ∈ ℕ0)
8987, 88nn0addcld 11300 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → (𝑥 + (#‘𝑆)) ∈ ℕ0)
9089, 4syl6eleq 2714 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → (𝑥 + (#‘𝑆)) ∈ (ℤ‘0))
913, 10nn0addcld 11300 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ ℕ0)
9291nn0zd 11424 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ ℤ)
9392adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ ℤ)
9487nn0cnd 11298 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → 𝑥 ∈ ℂ)
9588nn0cnd 11298 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → (#‘𝑆) ∈ ℂ)
9694, 95addcomd 10183 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → (𝑥 + (#‘𝑆)) = ((#‘𝑆) + 𝑥))
9787nn0red 11297 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → 𝑥 ∈ ℝ)
9810adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → (#‘𝑇) ∈ ℕ0)
9998nn0red 11297 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → (#‘𝑇) ∈ ℝ)
10088nn0red 11297 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → (#‘𝑆) ∈ ℝ)
101 elfzolt2 12417 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇)) → 𝑥 < (#‘𝑇))
102101adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → 𝑥 < (#‘𝑇))
10397, 99, 100, 102ltadd2dd 10141 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → ((#‘𝑆) + 𝑥) < ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))
10496, 103eqbrtrd 4640 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → (𝑥 + (#‘𝑆)) < ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))
105 elfzo2 12411 . . . . . . . . 9 ((𝑥 + (#‘𝑆)) ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ↔ ((𝑥 + (#‘𝑆)) ∈ (ℤ‘0) ∧ ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ ℤ ∧ (𝑥 + (#‘𝑆)) < ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))))
10690, 93, 104, 105syl3anbrc 1244 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → (𝑥 + (#‘𝑆)) ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))))
107 fnfvelrn 6313 . . . . . . . 8 (((𝑆 ++ 𝑇) Fn (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ∧ (𝑥 + (#‘𝑆)) ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(𝑥 + (#‘𝑆))) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇))
10884, 106, 107syl2anc 692 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(𝑥 + (#‘𝑆))) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇))
10983, 108eqeltrrd 2705 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → (𝑇𝑥) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇))
110109ralrimiva 2965 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → ∀𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))(𝑇𝑥) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇))
111 ffnfv 6344 . . . . 5 (𝑇:(0..^(#‘𝑇))⟶ran (𝑆 ++ 𝑇) ↔ (𝑇 Fn (0..^(#‘𝑇)) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))(𝑇𝑥) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇)))
11237, 110, 111sylanbrc 697 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → 𝑇:(0..^(#‘𝑇))⟶ran (𝑆 ++ 𝑇))
113 frn 6012 . . . 4 (𝑇:(0..^(#‘𝑇))⟶ran (𝑆 ++ 𝑇) → ran 𝑇 ⊆ ran (𝑆 ++ 𝑇))
114112, 113syl 17 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → ran 𝑇 ⊆ ran (𝑆 ++ 𝑇))
11581, 114unssd 3772 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇) ⊆ ran (𝑆 ++ 𝑇))
11669, 115eqssd 3605 1 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → ran (𝑆 ++ 𝑇) = (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wral 2912  cun 3558  wss 3560   class class class wbr 4618  ran crn 5080   Fn wfn 5845  wf 5846  cfv 5850  (class class class)co 6605  0cc0 9881   + caddc 9884   < clt 10019  cmin 10211  0cn0 11237  cz 11322  cuz 11631  ...cfz 12265  ..^cfzo 12403  #chash 13054  Word cword 13225   ++ cconcat 13227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-card 8710  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-hash 13055  df-word 13233  df-concat 13235
This theorem is referenced by:  mrsubvrs  31119
  Copyright terms: Public domain W3C validator