Theorem ccatrn 13942

Description: The range of a concatenated word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ccatrn	⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ran (𝑆 ++ 𝑇) = (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))

Proof of Theorem ccatrn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatvalfn 13934	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) Fn (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
2		lencl 13882	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
3		nn0uz 12279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
4	2, 3	eleqtrdi 2923	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘0))
5	4	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘0))
6	2	nn0zd 12084	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
7	6	uzidd 12258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑆)))
8		lencl 13882	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑇) ∈ ℕ0)
9		uzaddcl 12303	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑆)) ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑆)))
10	7, 8, 9	syl2an 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑆)))
11		elfzuzb 12901	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑆) ∈ (0...((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↔ ((♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑆))))
12	5, 10, 11	sylanbrc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑆) ∈ (0...((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
13		fzosplit 13069	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑆) ∈ (0...((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) → (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) = ((0..^(♯‘𝑆)) ∪ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))))
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) = ((0..^(♯‘𝑆)) ∪ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))))
15	14	eleq2d 2898	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↔ 𝑥 ∈ ((0..^(♯‘𝑆)) ∪ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))))
16		elun 4124	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((0..^(♯‘𝑆)) ∪ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) ↔ (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) ∨ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))))
17	15, 16	syl6bb 289	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↔ (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) ∨ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))))
18		ccatval1 13929	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) = (𝑆‘𝑥))
19	18	3expa 1114	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) = (𝑆‘𝑥))
20		ssun1 4147	. . . . . . . . . 10 ⊢ ran 𝑆 ⊆ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇)
21		wrdfn 13875	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → 𝑆 Fn (0..^(♯‘𝑆)))
22	21	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → 𝑆 Fn (0..^(♯‘𝑆)))
23		fnfvelrn 6847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 Fn (0..^(♯‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝑆‘𝑥) ∈ ran 𝑆)
24	22, 23	sylan 582	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝑆‘𝑥) ∈ ran 𝑆)
25	20, 24	sseldi 3964	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝑆‘𝑥) ∈ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))
26	19, 25	eqeltrd 2913	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) ∈ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))
27		ccatval2 13931	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) = (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))
28	27	3expa 1114	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) = (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))
29		ssun2 4148	. . . . . . . . . 10 ⊢ ran 𝑇 ⊆ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇)
30		wrdfn 13875	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇 ∈ Word 𝐵 → 𝑇 Fn (0..^(♯‘𝑇)))
31	30	adantl 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → 𝑇 Fn (0..^(♯‘𝑇)))
32		elfzouz 13041	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑆)))
33		uznn0sub 12276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑆)) → (𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ ℕ0)
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) → (𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ ℕ0)
35	34, 3	eleqtrdi 2923	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) → (𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ (ℤ≥‘0))
36	35	adantl 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ (ℤ≥‘0))
37	8	nn0zd 12084	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑇 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑇) ∈ ℤ)
38	37	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (♯‘𝑇) ∈ ℤ)
39		elfzolt2 13046	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) → 𝑥 < ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))
40	39	adantl 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → 𝑥 < ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))
41		elfzoelz 13037	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) → 𝑥 ∈ ℤ)
42	41	zred 12086	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) → 𝑥 ∈ ℝ)
43	42	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
44	2	nn0red 11955	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℝ)
45	44	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (♯‘𝑆) ∈ ℝ)
46	8	nn0red 11955	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑇 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑇) ∈ ℝ)
47	46	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (♯‘𝑇) ∈ ℝ)
48	43, 45, 47	ltsubadd2d 11237	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → ((𝑥 − (♯‘𝑆)) < (♯‘𝑇) ↔ 𝑥 < ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
49	40, 48	mpbird 259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (𝑥 − (♯‘𝑆)) < (♯‘𝑇))
50		elfzo2 13040	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ (0..^(♯‘𝑇)) ↔ ((𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℤ ∧ (𝑥 − (♯‘𝑆)) < (♯‘𝑇)))
51	36, 38, 49, 50	syl3anbrc 1339	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ (0..^(♯‘𝑇)))
52		fnfvelrn 6847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇 Fn (0..^(♯‘𝑇)) ∧ (𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))) ∈ ran 𝑇)
53	31, 51, 52	syl2an2r 683	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))) ∈ ran 𝑇)
54	29, 53	sseldi 3964	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))) ∈ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))
55	28, 54	eqeltrd 2913	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) ∈ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))
56	26, 55	jaodan 954	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) ∨ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) ∈ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))
57	56	ex 415	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) ∨ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) ∈ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇)))
58	17, 57	sylbid 242	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) ∈ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇)))
59	58	ralrimiv 3181	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) ∈ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))
60		ffnfv 6881	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ++ 𝑇):(0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))⟶(ran 𝑆 ∪ ran 𝑇) ↔ ((𝑆 ++ 𝑇) Fn (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) ∈ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇)))
61	1, 59, 60	sylanbrc 585	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇):(0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))⟶(ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))
62	61	frnd 6520	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ran (𝑆 ++ 𝑇) ⊆ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))
63		fzoss2 13064	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑆)) → (0..^(♯‘𝑆)) ⊆ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
64	10, 63	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (0..^(♯‘𝑆)) ⊆ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
65	64	sselda 3966	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
66		fnfvelrn 6847	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ++ 𝑇) Fn (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇))
67	1, 65, 66	syl2an2r 683	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇))
68	19, 67	eqeltrrd 2914	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝑆‘𝑥) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇))
69	68	ralrimiva 3182	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))(𝑆‘𝑥) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇))
70		ffnfv 6881	. . . . 5 ⊢ (𝑆:(0..^(♯‘𝑆))⟶ran (𝑆 ++ 𝑇) ↔ (𝑆 Fn (0..^(♯‘𝑆)) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))(𝑆‘𝑥) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇)))
71	22, 69, 70	sylanbrc 585	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → 𝑆:(0..^(♯‘𝑆))⟶ran (𝑆 ++ 𝑇))
72	71	frnd 6520	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ran 𝑆 ⊆ ran (𝑆 ++ 𝑇))
73		ccatval3 13932	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(𝑥 + (♯‘𝑆))) = (𝑇‘𝑥))
74	73	3expa 1114	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(𝑥 + (♯‘𝑆))) = (𝑇‘𝑥))
75		elfzouz 13041	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘0))
76	2	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
77		uzaddcl 12303	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℕ0) → (𝑥 + (♯‘𝑆)) ∈ (ℤ≥‘0))
78	75, 76, 77	syl2anr 598	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (𝑥 + (♯‘𝑆)) ∈ (ℤ≥‘0))
79		nn0addcl 11931	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ ℕ0)
80	2, 8, 79	syl2an 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ ℕ0)
81	80	nn0zd 12084	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ ℤ)
82	81	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ ℤ)
83		elfzonn0 13081	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
84	83	nn0cnd 11956	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇)) → 𝑥 ∈ ℂ)
85	2	nn0cnd 11956	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℂ)
86	85	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑆) ∈ ℂ)
87		addcom 10825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℂ) → (𝑥 + (♯‘𝑆)) = ((♯‘𝑆) + 𝑥))
88	84, 86, 87	syl2anr 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (𝑥 + (♯‘𝑆)) = ((♯‘𝑆) + 𝑥))
89	83	nn0red 11955	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇)) → 𝑥 ∈ ℝ)
90	89	adantl 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → 𝑥 ∈ ℝ)
91	46	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (♯‘𝑇) ∈ ℝ)
92	44	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (♯‘𝑆) ∈ ℝ)
93		elfzolt2 13046	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇)) → 𝑥 < (♯‘𝑇))
94	93	adantl 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → 𝑥 < (♯‘𝑇))
95	90, 91, 92, 94	ltadd2dd 10798	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → ((♯‘𝑆) + 𝑥) < ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))
96	88, 95	eqbrtrd 5087	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (𝑥 + (♯‘𝑆)) < ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))
97		elfzo2 13040	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 + (♯‘𝑆)) ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↔ ((𝑥 + (♯‘𝑆)) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ ℤ ∧ (𝑥 + (♯‘𝑆)) < ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
98	78, 82, 96, 97	syl3anbrc 1339	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (𝑥 + (♯‘𝑆)) ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
99		fnfvelrn 6847	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ++ 𝑇) Fn (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∧ (𝑥 + (♯‘𝑆)) ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(𝑥 + (♯‘𝑆))) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇))
100	1, 98, 99	syl2an2r 683	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(𝑥 + (♯‘𝑆))) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇))
101	74, 100	eqeltrrd 2914	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (𝑇‘𝑥) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇))
102	101	ralrimiva 3182	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))(𝑇‘𝑥) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇))
103		ffnfv 6881	. . . . 5 ⊢ (𝑇:(0..^(♯‘𝑇))⟶ran (𝑆 ++ 𝑇) ↔ (𝑇 Fn (0..^(♯‘𝑇)) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))(𝑇‘𝑥) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇)))
104	31, 102, 103	sylanbrc 585	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → 𝑇:(0..^(♯‘𝑇))⟶ran (𝑆 ++ 𝑇))
105	104	frnd 6520	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ran 𝑇 ⊆ ran (𝑆 ++ 𝑇))
106	72, 105	unssd 4161	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇) ⊆ ran (𝑆 ++ 𝑇))
107	62, 106	eqssd 3983	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ran (𝑆 ++ 𝑇) = (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∨ wo 843   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138   ∪ cun 3933   ⊆ wss 3935   class class class wbr 5065  ran crn 5555   Fn wfn 6349  ⟶wf 6350  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155  ℂcc 10534  ℝcr 10535  0cc0 10536   + caddc 10539   < clt 10674   − cmin 10869  ℕ₀cn0 11896  ℤcz 11980  ℤ_≥cuz 12242  ...cfz 12891  ..^cfzo 13032  ♯chash 13689  Word cword 13860   ++ cconcat 13921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-hash 13690  df-word 13861  df-concat 13922

This theorem is referenced by:  cycpmco2f1  30766  cycpmco2rn  30767  mrsubvrs  32769