Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ccats1pfxeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccats1pfxeq 40746
Description: The last symbol of a word concatenated with the word with the last symbol removed having results in the word itself. Could replace ccats1swrdeq 13415. (Contributed by AV, 9-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
ccats1pfxeq ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑈) = ((#‘𝑊) + 1)) → (𝑊 = (𝑈 prefix (#‘𝑊)) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“( lastS ‘𝑈)”⟩)))

Proof of Theorem ccats1pfxeq
StepHypRef Expression
1 oveq1 6617 . . . 4 (𝑊 = (𝑈 prefix (#‘𝑊)) → (𝑊 ++ ⟨“( lastS ‘𝑈)”⟩) = ((𝑈 prefix (#‘𝑊)) ++ ⟨“( lastS ‘𝑈)”⟩))
21adantl 482 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑈) = ((#‘𝑊) + 1)) ∧ 𝑊 = (𝑈 prefix (#‘𝑊))) → (𝑊 ++ ⟨“( lastS ‘𝑈)”⟩) = ((𝑈 prefix (#‘𝑊)) ++ ⟨“( lastS ‘𝑈)”⟩))
3 lencl 13271 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
43nn0cnd 11305 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑊) ∈ ℂ)
5 pncan1 10406 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝑊) ∈ ℂ → (((#‘𝑊) + 1) − 1) = (#‘𝑊))
64, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (((#‘𝑊) + 1) − 1) = (#‘𝑊))
76eqcomd 2627 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑊) = (((#‘𝑊) + 1) − 1))
873ad2ant1 1080 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑈) = ((#‘𝑊) + 1)) → (#‘𝑊) = (((#‘𝑊) + 1) − 1))
9 oveq1 6617 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝑈) = ((#‘𝑊) + 1) → ((#‘𝑈) − 1) = (((#‘𝑊) + 1) − 1))
109eqcomd 2627 . . . . . . . . 9 ((#‘𝑈) = ((#‘𝑊) + 1) → (((#‘𝑊) + 1) − 1) = ((#‘𝑈) − 1))
11103ad2ant3 1082 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑈) = ((#‘𝑊) + 1)) → (((#‘𝑊) + 1) − 1) = ((#‘𝑈) − 1))
128, 11eqtrd 2655 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑈) = ((#‘𝑊) + 1)) → (#‘𝑊) = ((#‘𝑈) − 1))
1312oveq2d 6626 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑈) = ((#‘𝑊) + 1)) → (𝑈 prefix (#‘𝑊)) = (𝑈 prefix ((#‘𝑈) − 1)))
1413oveq1d 6625 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑈) = ((#‘𝑊) + 1)) → ((𝑈 prefix (#‘𝑊)) ++ ⟨“( lastS ‘𝑈)”⟩) = ((𝑈 prefix ((#‘𝑈) − 1)) ++ ⟨“( lastS ‘𝑈)”⟩))
15 simp2 1060 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑈) = ((#‘𝑊) + 1)) → 𝑈 ∈ Word 𝑉)
16 nn0p1gt0 11274 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → 0 < ((#‘𝑊) + 1))
173, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 0 < ((#‘𝑊) + 1))
18173ad2ant1 1080 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑈) = ((#‘𝑊) + 1)) → 0 < ((#‘𝑊) + 1))
19 breq2 4622 . . . . . . . . 9 ((#‘𝑈) = ((#‘𝑊) + 1) → (0 < (#‘𝑈) ↔ 0 < ((#‘𝑊) + 1)))
20193ad2ant3 1082 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑈) = ((#‘𝑊) + 1)) → (0 < (#‘𝑈) ↔ 0 < ((#‘𝑊) + 1)))
2118, 20mpbird 247 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑈) = ((#‘𝑊) + 1)) → 0 < (#‘𝑈))
22 hashneq0 13103 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ Word 𝑉 → (0 < (#‘𝑈) ↔ 𝑈 ≠ ∅))
23223ad2ant2 1081 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑈) = ((#‘𝑊) + 1)) → (0 < (#‘𝑈) ↔ 𝑈 ≠ ∅))
2421, 23mpbid 222 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑈) = ((#‘𝑊) + 1)) → 𝑈 ≠ ∅)
25 pfxlswccat 40745 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ Word 𝑉𝑈 ≠ ∅) → ((𝑈 prefix ((#‘𝑈) − 1)) ++ ⟨“( lastS ‘𝑈)”⟩) = 𝑈)
2615, 24, 25syl2anc 692 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑈) = ((#‘𝑊) + 1)) → ((𝑈 prefix ((#‘𝑈) − 1)) ++ ⟨“( lastS ‘𝑈)”⟩) = 𝑈)
2714, 26eqtrd 2655 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑈) = ((#‘𝑊) + 1)) → ((𝑈 prefix (#‘𝑊)) ++ ⟨“( lastS ‘𝑈)”⟩) = 𝑈)
2827adantr 481 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑈) = ((#‘𝑊) + 1)) ∧ 𝑊 = (𝑈 prefix (#‘𝑊))) → ((𝑈 prefix (#‘𝑊)) ++ ⟨“( lastS ‘𝑈)”⟩) = 𝑈)
292, 28eqtr2d 2656 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑈) = ((#‘𝑊) + 1)) ∧ 𝑊 = (𝑈 prefix (#‘𝑊))) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“( lastS ‘𝑈)”⟩))
3029ex 450 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑈) = ((#‘𝑊) + 1)) → (𝑊 = (𝑈 prefix (#‘𝑊)) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“( lastS ‘𝑈)”⟩)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  c0 3896   class class class wbr 4618  cfv 5852  (class class class)co 6610  cc 9886  0cc0 9888  1c1 9889   + caddc 9891   < clt 10026  cmin 10218  0cn0 11244  #chash 13065  Word cword 13238   lastS clsw 13239   ++ cconcat 13240  ⟨“cs1 13241   prefix cpfx 40706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-card 8717  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-n0 11245  df-xnn0 11316  df-z 11330  df-uz 11640  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-hash 13066  df-word 13246  df-lsw 13247  df-concat 13248  df-s1 13249  df-substr 13250  df-pfx 40707
This theorem is referenced by:  ccats1pfxeqrex  40747  ccats1pfxeqbi  40756
  Copyright terms: Public domain W3C validator