Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ccats1pfxeqbi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccats1pfxeqbi 40727
 Description: A word is a prefix of a word with length greater by 1 than the first word iff the second word is the first word concatenated with the last symbol of the second word. Could replace ccats1swrdeqbi 13435. (Contributed by AV, 10-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
ccats1pfxeqbi ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑈) = ((#‘𝑊) + 1)) → (𝑊 = (𝑈 prefix (#‘𝑊)) ↔ 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“( lastS ‘𝑈)”⟩)))

Proof of Theorem ccats1pfxeqbi
StepHypRef Expression
1 ccats1pfxeq 40717 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑈) = ((#‘𝑊) + 1)) → (𝑊 = (𝑈 prefix (#‘𝑊)) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“( lastS ‘𝑈)”⟩)))
2 simp1 1059 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑈) = ((#‘𝑊) + 1)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
3 lencl 13263 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
4 nn0p1nn 11276 . . . . . . . . 9 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑊) + 1) ∈ ℕ)
53, 4syl 17 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑊) + 1) ∈ ℕ)
653ad2ant1 1080 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑈) = ((#‘𝑊) + 1)) → ((#‘𝑊) + 1) ∈ ℕ)
7 3simpc 1058 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑈) = ((#‘𝑊) + 1)) → (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑈) = ((#‘𝑊) + 1)))
8 lswlgt0cl 13295 . . . . . . 7 ((((#‘𝑊) + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑈) = ((#‘𝑊) + 1))) → ( lastS ‘𝑈) ∈ 𝑉)
96, 7, 8syl2anc 692 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑈) = ((#‘𝑊) + 1)) → ( lastS ‘𝑈) ∈ 𝑉)
109s1cld 13322 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑈) = ((#‘𝑊) + 1)) → ⟨“( lastS ‘𝑈)”⟩ ∈ Word 𝑉)
11 eqidd 2622 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑈) = ((#‘𝑊) + 1)) → (#‘𝑊) = (#‘𝑊))
12 pfxccatid 40726 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“( lastS ‘𝑈)”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (#‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“( lastS ‘𝑈)”⟩) prefix (#‘𝑊)) = 𝑊)
1312eqcomd 2627 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“( lastS ‘𝑈)”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (#‘𝑊)) → 𝑊 = ((𝑊 ++ ⟨“( lastS ‘𝑈)”⟩) prefix (#‘𝑊)))
142, 10, 11, 13syl3anc 1323 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑈) = ((#‘𝑊) + 1)) → 𝑊 = ((𝑊 ++ ⟨“( lastS ‘𝑈)”⟩) prefix (#‘𝑊)))
15 oveq1 6611 . . . . 5 (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“( lastS ‘𝑈)”⟩) → (𝑈 prefix (#‘𝑊)) = ((𝑊 ++ ⟨“( lastS ‘𝑈)”⟩) prefix (#‘𝑊)))
1615eqcomd 2627 . . . 4 (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“( lastS ‘𝑈)”⟩) → ((𝑊 ++ ⟨“( lastS ‘𝑈)”⟩) prefix (#‘𝑊)) = (𝑈 prefix (#‘𝑊)))
1714, 16sylan9eq 2675 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑈) = ((#‘𝑊) + 1)) ∧ 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“( lastS ‘𝑈)”⟩)) → 𝑊 = (𝑈 prefix (#‘𝑊)))
1817ex 450 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑈) = ((#‘𝑊) + 1)) → (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“( lastS ‘𝑈)”⟩) → 𝑊 = (𝑈 prefix (#‘𝑊))))
191, 18impbid 202 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑈) = ((#‘𝑊) + 1)) → (𝑊 = (𝑈 prefix (#‘𝑊)) ↔ 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“( lastS ‘𝑈)”⟩)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  1c1 9881   + caddc 9883  ℕcn 10964  ℕ0cn0 11236  #chash 13057  Word cword 13230   lastS clsw 13231   ++ cconcat 13232  ⟨“cs1 13233   prefix cpfx 40677 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-hash 13058  df-word 13238  df-lsw 13239  df-concat 13240  df-s1 13241  df-substr 13242  df-pfx 40678 This theorem is referenced by:  reuccatpfxs1  40730
 Copyright terms: Public domain W3C validator