MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccats1swrdeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccats1swrdeq 13515
Description: The last symbol of a word concatenated with the subword of the word having length less by 1 than the word results in the word itself. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
ccats1swrdeq ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑈) = ((#‘𝑊) + 1)) → (𝑊 = (𝑈 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“( lastS ‘𝑈)”⟩)))

Proof of Theorem ccats1swrdeq
StepHypRef Expression
1 oveq1 6697 . . . 4 (𝑊 = (𝑈 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩) → (𝑊 ++ ⟨“( lastS ‘𝑈)”⟩) = ((𝑈 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩) ++ ⟨“( lastS ‘𝑈)”⟩))
21adantl 481 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑈) = ((#‘𝑊) + 1)) ∧ 𝑊 = (𝑈 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩)) → (𝑊 ++ ⟨“( lastS ‘𝑈)”⟩) = ((𝑈 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩) ++ ⟨“( lastS ‘𝑈)”⟩))
3 oveq1 6697 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝑈) = ((#‘𝑊) + 1) → ((#‘𝑈) − 1) = (((#‘𝑊) + 1) − 1))
433ad2ant3 1104 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑈) = ((#‘𝑊) + 1)) → ((#‘𝑈) − 1) = (((#‘𝑊) + 1) − 1))
5 lencl 13356 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
6 nn0cn 11340 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (#‘𝑊) ∈ ℂ)
7 pncan1 10492 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝑊) ∈ ℂ → (((#‘𝑊) + 1) − 1) = (#‘𝑊))
85, 6, 73syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (((#‘𝑊) + 1) − 1) = (#‘𝑊))
983ad2ant1 1102 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑈) = ((#‘𝑊) + 1)) → (((#‘𝑊) + 1) − 1) = (#‘𝑊))
104, 9eqtr2d 2686 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑈) = ((#‘𝑊) + 1)) → (#‘𝑊) = ((#‘𝑈) − 1))
1110opeq2d 4440 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑈) = ((#‘𝑊) + 1)) → ⟨0, (#‘𝑊)⟩ = ⟨0, ((#‘𝑈) − 1)⟩)
1211oveq2d 6706 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑈) = ((#‘𝑊) + 1)) → (𝑈 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨0, ((#‘𝑈) − 1)⟩))
1312oveq1d 6705 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑈) = ((#‘𝑊) + 1)) → ((𝑈 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩) ++ ⟨“( lastS ‘𝑈)”⟩) = ((𝑈 substr ⟨0, ((#‘𝑈) − 1)⟩) ++ ⟨“( lastS ‘𝑈)”⟩))
14 simp2 1082 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑈) = ((#‘𝑊) + 1)) → 𝑈 ∈ Word 𝑉)
15 nn0p1gt0 11360 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → 0 < ((#‘𝑊) + 1))
165, 15syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 0 < ((#‘𝑊) + 1))
17163ad2ant1 1102 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑈) = ((#‘𝑊) + 1)) → 0 < ((#‘𝑊) + 1))
18 breq2 4689 . . . . . . . . 9 ((#‘𝑈) = ((#‘𝑊) + 1) → (0 < (#‘𝑈) ↔ 0 < ((#‘𝑊) + 1)))
19183ad2ant3 1104 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑈) = ((#‘𝑊) + 1)) → (0 < (#‘𝑈) ↔ 0 < ((#‘𝑊) + 1)))
2017, 19mpbird 247 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑈) = ((#‘𝑊) + 1)) → 0 < (#‘𝑈))
21 hashneq0 13193 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ Word 𝑉 → (0 < (#‘𝑈) ↔ 𝑈 ≠ ∅))
22213ad2ant2 1103 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑈) = ((#‘𝑊) + 1)) → (0 < (#‘𝑈) ↔ 𝑈 ≠ ∅))
2320, 22mpbid 222 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑈) = ((#‘𝑊) + 1)) → 𝑈 ≠ ∅)
24 swrdccatwrd 13514 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ Word 𝑉𝑈 ≠ ∅) → ((𝑈 substr ⟨0, ((#‘𝑈) − 1)⟩) ++ ⟨“( lastS ‘𝑈)”⟩) = 𝑈)
2514, 23, 24syl2anc 694 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑈) = ((#‘𝑊) + 1)) → ((𝑈 substr ⟨0, ((#‘𝑈) − 1)⟩) ++ ⟨“( lastS ‘𝑈)”⟩) = 𝑈)
2613, 25eqtrd 2685 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑈) = ((#‘𝑊) + 1)) → ((𝑈 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩) ++ ⟨“( lastS ‘𝑈)”⟩) = 𝑈)
2726adantr 480 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑈) = ((#‘𝑊) + 1)) ∧ 𝑊 = (𝑈 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩)) → ((𝑈 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩) ++ ⟨“( lastS ‘𝑈)”⟩) = 𝑈)
282, 27eqtr2d 2686 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑈) = ((#‘𝑊) + 1)) ∧ 𝑊 = (𝑈 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩)) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“( lastS ‘𝑈)”⟩))
2928ex 449 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑈) = ((#‘𝑊) + 1)) → (𝑊 = (𝑈 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“( lastS ‘𝑈)”⟩)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  c0 3948  cop 4216   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   < clt 10112  cmin 10304  0cn0 11330  #chash 13157  Word cword 13323   lastS clsw 13324   ++ cconcat 13325  ⟨“cs1 13326   substr csubstr 13327
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-lsw 13332  df-concat 13333  df-s1 13334  df-substr 13335
This theorem is referenced by:  ccats1swrdeqrex  13524  ccats1swrdeqbi  13544
  Copyright terms: Public domain W3C validator