Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccatval3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccatval3 13318
 Description: Value of a symbol in the right half of a concatenated word, using an index relative to the subword. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 30-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
ccatval3 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(𝐼 + (#‘𝑆))) = (𝑇𝐼))

Proof of Theorem ccatval3
StepHypRef Expression
1 lencl 13279 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (#‘𝑆) ∈ ℕ0)
21nn0zd 11440 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (#‘𝑆) ∈ ℤ)
32anim1i 591 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → ((#‘𝑆) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑇))))
43ancomd 467 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → (𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑇)) ∧ (#‘𝑆) ∈ ℤ))
543adant2 1078 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → (𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑇)) ∧ (#‘𝑆) ∈ ℤ))
6 fzo0addelr 12479 . . . 4 ((𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑇)) ∧ (#‘𝑆) ∈ ℤ) → (𝐼 + (#‘𝑆)) ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))))
75, 6syl 17 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → (𝐼 + (#‘𝑆)) ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))))
8 ccatval2 13317 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ (𝐼 + (#‘𝑆)) ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(𝐼 + (#‘𝑆))) = (𝑇‘((𝐼 + (#‘𝑆)) − (#‘𝑆))))
97, 8syld3an3 1368 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(𝐼 + (#‘𝑆))) = (𝑇‘((𝐼 + (#‘𝑆)) − (#‘𝑆))))
10 elfzoelz 12427 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑇)) → 𝐼 ∈ ℤ)
11103ad2ant3 1082 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → 𝐼 ∈ ℤ)
1211zcnd 11443 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → 𝐼 ∈ ℂ)
1313ad2ant1 1080 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → (#‘𝑆) ∈ ℕ0)
1413nn0cnd 11313 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → (#‘𝑆) ∈ ℂ)
1512, 14pncand 10353 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → ((𝐼 + (#‘𝑆)) − (#‘𝑆)) = 𝐼)
1615fveq2d 6162 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → (𝑇‘((𝐼 + (#‘𝑆)) − (#‘𝑆))) = (𝑇𝐼))
179, 16eqtrd 2655 1 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(𝐼 + (#‘𝑆))) = (𝑇𝐼))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615  0cc0 9896   + caddc 9899   − cmin 10226  ℕ0cn0 11252  ℤcz 11337  ..^cfzo 12422  #chash 13073  Word cword 13246   ++ cconcat 13248 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-card 8725  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-hash 13074  df-word 13254  df-concat 13256 This theorem is referenced by:  ccatrn  13327  swrdccat2  13412  cats1un  13429  splfv2a  13460  revccat  13468  cats1fvn  13556  gsumccat  17318  efgsval2  18086  efgsp1  18090  pgpfaclem1  18420  signstfvn  30468
 Copyright terms: Public domain W3C validator