MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccatw2s1p1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccatw2s1p1 13214
Description: Extract the symbol of the first singleton word of a word concatenated with this singleton word and another singleton word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.) (Proof shortened by AV, 1-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
ccatw2s1p1 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑁) = 𝑋)

Proof of Theorem ccatw2s1p1
StepHypRef Expression
1 ccatws1cl 13198 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉) → (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉)
21ad2ant2r 778 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉)
3 simpr 475 . . . 4 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → 𝑌𝑉)
43adantl 480 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝑌𝑉)
5 lencl 13128 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
6 fzonn0p1 12369 . . . . . . 7 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (#‘𝑊) ∈ (0..^((#‘𝑊) + 1)))
75, 6syl 17 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑊) ∈ (0..^((#‘𝑊) + 1)))
87adantr 479 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) → (#‘𝑊) ∈ (0..^((#‘𝑊) + 1)))
98adantr 479 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (#‘𝑊) ∈ (0..^((#‘𝑊) + 1)))
10 simpr 475 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) → (#‘𝑊) = 𝑁)
1110eqcomd 2615 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) → 𝑁 = (#‘𝑊))
1211adantr 479 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝑁 = (#‘𝑊))
13 ccatws1len 13200 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉) → (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = ((#‘𝑊) + 1))
1413ad2ant2r 778 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = ((#‘𝑊) + 1))
1514oveq2d 6543 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (0..^(#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩))) = (0..^((#‘𝑊) + 1)))
169, 12, 153eltr4d 2702 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝑁 ∈ (0..^(#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩))))
17 ccats1val1 13204 . . 3 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (0..^(#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)))) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑁) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁))
182, 4, 16, 17syl3anc 1317 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑁) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁))
19 simpl 471 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2019adantr 479 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
21 simpl 471 . . . 4 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → 𝑋𝑉)
2221adantl 480 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝑋𝑉)
23 eqcom 2616 . . . . . 6 ((#‘𝑊) = 𝑁𝑁 = (#‘𝑊))
2423biimpi 204 . . . . 5 ((#‘𝑊) = 𝑁𝑁 = (#‘𝑊))
2524adantl 480 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) → 𝑁 = (#‘𝑊))
2625adantr 479 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝑁 = (#‘𝑊))
27 ccats1val2 13205 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 = (#‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋)
2820, 22, 26, 27syl3anc 1317 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋)
2918, 28eqtrd 2643 1 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑁) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  cfv 5790  (class class class)co 6527  0cc0 9793  1c1 9794   + caddc 9796  0cn0 11142  ..^cfzo 12292  #chash 12937  Word cword 13095   ++ cconcat 13097  ⟨“cs1 13098
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-oadd 7429  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-card 8626  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-nn 10871  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-fz 12156  df-fzo 12293  df-hash 12938  df-word 13103  df-concat 13105  df-s1 13106
This theorem is referenced by:  numclwwlkovf2ex  26407  numclwlk1lem2foa  26412  av-numclwwlkovf2ex  41539  av-numclwlk1lem2foa  41543
  Copyright terms: Public domain W3C validator