Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cchhllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cchhllem 25457
 Description: Lemma for chlbas and chlvsca . (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cchhl.c 𝐶 = (((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (∗‘𝑦)))⟩)
cchhllem.2 𝐸 = Slot 𝑁
cchhllem.3 𝑁 ∈ ℕ
cchhllem.4 (𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁)
Assertion
Ref Expression
cchhllem (𝐸‘ℂfld) = (𝐸𝐶)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐸(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cchhllem
StepHypRef Expression
1 cchhllem.2 . . . 4 𝐸 = Slot 𝑁
2 cchhllem.3 . . . 4 𝑁 ∈ ℕ
31, 2ndxid 15600 . . 3 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4 cchhllem.4 . . . . 5 (𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁)
5 5lt8 10972 . . . . . . . . 9 5 < 8
62nnrei 10784 . . . . . . . . . 10 𝑁 ∈ ℝ
7 5re 10854 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℝ
8 8re 10860 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℝ
96, 7, 8lttri 9914 . . . . . . . . 9 ((𝑁 < 5 ∧ 5 < 8) → 𝑁 < 8)
105, 9mpan2 702 . . . . . . . 8 (𝑁 < 5 → 𝑁 < 8)
116, 8ltnei 9912 . . . . . . . 8 (𝑁 < 8 → 8 ≠ 𝑁)
1210, 11syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 < 5 → 8 ≠ 𝑁)
1312necomd 2741 . . . . . 6 (𝑁 < 5 → 𝑁 ≠ 8)
148, 6ltnei 9912 . . . . . 6 (8 < 𝑁𝑁 ≠ 8)
1513, 14jaoi 392 . . . . 5 ((𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 8)
164, 15ax-mp 5 . . . 4 𝑁 ≠ 8
171, 2ndxarg 15599 . . . . 5 (𝐸‘ndx) = 𝑁
18 ipndx 15729 . . . . 5 (·𝑖‘ndx) = 8
1917, 18neeq12i 2752 . . . 4 ((𝐸‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 8)
2016, 19mpbir 219 . . 3 (𝐸‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
213, 20setsnid 15627 . 2 (𝐸‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ)) = (𝐸‘(((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (∗‘𝑦)))⟩))
22 eqidd 2515 . . . 4 (⊤ → ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) = ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
23 ax-resscn 9748 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
24 cnfldbas 19475 . . . . . 6 ℂ = (Base‘ℂfld)
2523, 24sseqtri 3504 . . . . 5 ℝ ⊆ (Base‘ℂfld)
2625a1i 11 . . . 4 (⊤ → ℝ ⊆ (Base‘ℂfld))
2722, 26, 1, 2, 4sralem 18902 . . 3 (⊤ → (𝐸‘ℂfld) = (𝐸‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ)))
2827trud 1483 . 2 (𝐸‘ℂfld) = (𝐸‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
29 cchhl.c . . 3 𝐶 = (((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (∗‘𝑦)))⟩)
3029fveq2i 5990 . 2 (𝐸𝐶) = (𝐸‘(((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (∗‘𝑦)))⟩))
3121, 28, 303eqtr4i 2546 1 (𝐸‘ℂfld) = (𝐸𝐶)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∨ wo 381   = wceq 1474  ⊤wtru 1475   ∈ wcel 1938   ≠ wne 2684   ⊆ wss 3444  ⟨cop 4034   class class class wbr 4481  ‘cfv 5689  (class class class)co 6426   ↦ cmpt2 6428  ℂcc 9689  ℝcr 9690   · cmul 9696   < clt 9829  ℕcn 10775  5c5 10828  8c8 10831  ∗ccj 13543  ndxcnx 15576   sSet csts 15577  Slot cslot 15578  Basecbs 15579  ·𝑖cip 15657  subringAlg csra 18893  ℂfldccnfld 19471 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6723  ax-cnex 9747  ax-resscn 9748  ax-1cn 9749  ax-icn 9750  ax-addcl 9751  ax-addrcl 9752  ax-mulcl 9753  ax-mulrcl 9754  ax-mulcom 9755  ax-addass 9756  ax-mulass 9757  ax-distr 9758  ax-i2m1 9759  ax-1ne0 9760  ax-1rid 9761  ax-rnegex 9762  ax-rrecex 9763  ax-cnre 9764  ax-pre-lttri 9765  ax-pre-lttrn 9766  ax-pre-ltadd 9767  ax-pre-mulgt0 9768 This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-int 4309  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-riota 6388  df-ov 6429  df-oprab 6430  df-mpt2 6431  df-om 6834  df-1st 6934  df-2nd 6935  df-wrecs 7169  df-recs 7231  df-rdg 7269  df-1o 7323  df-oadd 7327  df-er 7505  df-en 7718  df-dom 7719  df-sdom 7720  df-fin 7721  df-pnf 9831  df-mnf 9832  df-xr 9833  df-ltxr 9834  df-le 9835  df-sub 10019  df-neg 10020  df-nn 10776  df-2 10834  df-3 10835  df-4 10836  df-5 10837  df-6 10838  df-7 10839  df-8 10840  df-9 10841  df-n0 11048  df-z 11119  df-dec 11234  df-uz 11428  df-fz 12066  df-struct 15581  df-ndx 15582  df-slot 15583  df-base 15584  df-sets 15585  df-plusg 15665  df-mulr 15666  df-starv 15667  df-sca 15668  df-vsca 15669  df-ip 15670  df-tset 15671  df-ple 15672  df-ds 15675  df-unif 15676  df-sra 18897  df-cnfld 19472 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator