MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cdadom2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdadom2 8870
Description: Ordering law for cardinal addition. Theorem 6L(a) of [Enderton] p. 149. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
cdadom2 (𝐴𝐵 → (𝐶 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐶 +𝑐 𝐵))

Proof of Theorem cdadom2
StepHypRef Expression
1 cdadom1 8869 . 2 (𝐴𝐵 → (𝐴 +𝑐 𝐶) ≼ (𝐵 +𝑐 𝐶))
2 cdacomen 8864 . . 3 (𝐴 +𝑐 𝐶) ≈ (𝐶 +𝑐 𝐴)
3 cdacomen 8864 . . 3 (𝐵 +𝑐 𝐶) ≈ (𝐶 +𝑐 𝐵)
4 domen1 7965 . . . 4 ((𝐴 +𝑐 𝐶) ≈ (𝐶 +𝑐 𝐴) → ((𝐴 +𝑐 𝐶) ≼ (𝐵 +𝑐 𝐶) ↔ (𝐶 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐵 +𝑐 𝐶)))
5 domen2 7966 . . . 4 ((𝐵 +𝑐 𝐶) ≈ (𝐶 +𝑐 𝐵) → ((𝐶 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐵 +𝑐 𝐶) ↔ (𝐶 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐶 +𝑐 𝐵)))
64, 5sylan9bb 731 . . 3 (((𝐴 +𝑐 𝐶) ≈ (𝐶 +𝑐 𝐴) ∧ (𝐵 +𝑐 𝐶) ≈ (𝐶 +𝑐 𝐵)) → ((𝐴 +𝑐 𝐶) ≼ (𝐵 +𝑐 𝐶) ↔ (𝐶 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐶 +𝑐 𝐵)))
72, 3, 6mp2an 703 . 2 ((𝐴 +𝑐 𝐶) ≼ (𝐵 +𝑐 𝐶) ↔ (𝐶 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐶 +𝑐 𝐵))
81, 7sylib 206 1 (𝐴𝐵 → (𝐶 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐶 +𝑐 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194   class class class wbr 4577  (class class class)co 6527  cen 7816  cdom 7817   +𝑐 ccda 8850
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-ord 5629  df-on 5630  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-1o 7425  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-cda 8851
This theorem is referenced by:  cdalepw  8879  unctb  8888  infcdaabs  8889  infcda  8891  infdif  8892  fin45  9075  canthp1  9333  pwcdandom  9346  gchcdaidm  9347  gchpwdom  9349  gchhar  9358
  Copyright terms: Public domain W3C validator