MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cdadom3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdadom3 9202
Description: A set is dominated by its cardinal sum with another. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
cdadom3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))

Proof of Theorem cdadom3
StepHypRef Expression
1 unexg 7124 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵) ∈ V)
2 ssun1 3919 . . 3 𝐴 ⊆ (𝐴𝐵)
3 ssdomg 8167 . . 3 ((𝐴𝐵) ∈ V → (𝐴 ⊆ (𝐴𝐵) → 𝐴 ≼ (𝐴𝐵)))
41, 2, 3mpisyl 21 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝐴 ≼ (𝐴𝐵))
5 uncdadom 9185 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))
6 domtr 8174 . 2 ((𝐴 ≼ (𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵)) → 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))
74, 5, 6syl2anc 696 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 2139  Vcvv 3340  cun 3713  wss 3715   class class class wbr 4804  (class class class)co 6813  cdom 8119   +𝑐 ccda 9181
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-ord 5887  df-on 5888  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-1o 7729  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-cda 9182
This theorem is referenced by:  cdainf  9206  infcda1  9207  infcdaabs  9220  isfin4-3  9329  isfin5-2  9405  gchdomtri  9643  gchcda1  9670  pwxpndom  9680  gchcdaidm  9682  gchpwdom  9684  gchhar  9693
  Copyright terms: Public domain W3C validator