MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cdadom3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdadom3 8954
Description: A set is dominated by its cardinal sum with another. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
cdadom3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))

Proof of Theorem cdadom3
StepHypRef Expression
1 unexg 6912 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵) ∈ V)
2 ssun1 3754 . . 3 𝐴 ⊆ (𝐴𝐵)
3 ssdomg 7945 . . 3 ((𝐴𝐵) ∈ V → (𝐴 ⊆ (𝐴𝐵) → 𝐴 ≼ (𝐴𝐵)))
41, 2, 3mpisyl 21 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝐴 ≼ (𝐴𝐵))
5 uncdadom 8937 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))
6 domtr 7953 . 2 ((𝐴 ≼ (𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵)) → 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))
74, 5, 6syl2anc 692 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wcel 1987  Vcvv 3186  cun 3553  wss 3555   class class class wbr 4613  (class class class)co 6604  cdom 7897   +𝑐 ccda 8933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-ord 5685  df-on 5686  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-1o 7505  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-cda 8934
This theorem is referenced by:  cdainf  8958  infcda1  8959  infcdaabs  8972  isfin4-3  9081  isfin5-2  9157  gchdomtri  9395  gchcda1  9422  pwxpndom  9432  gchcdaidm  9434  gchpwdom  9436  gchhar  9445
  Copyright terms: Public domain W3C validator